Doppelball-Versuch

Verbildlichung der Ballpyramide

Der Doppelball-Versuch, auch bekannt als Ballpyramide, ist ein physikalisches Experiment, welches die Impulserhaltung verdeutlicht. Dabei werden zwei oder mehr Bälle übereinander gelegt und fallen gelassen, wobei der untere Ball jeweils schwerer ist als der Obere. Es kann beobachtet werden, dass der obere und leichtere Ball über seine Ausgangshöhe hinaus kommt.

Das physikalische Spielzeug "Astroblaster" von Stirling Colgate nutzt diesen Aufbau zur Veranschaulichung, wie Materie bei einer Supernova verteilt wird.

Aufbau und Beobachtung

Ein idealisierter Ball, der eleastisch, reibungsfrei und perfekt rund ist, erreicht nach einem Fall zu Boden fast seine vollständige Ausgangshöhe. Ein Teil seiner Energie wird in Wärmeenergie umgewandelt oder geht durch Reibung verloren, wodurch die Höhendifferenz zustande kommt. Reale Bälle geben zusätzlich Energie durch Reibung und Deformierung ab.

Beim Doppelballversuch werden nun zwei Bälle senkrecht übereinander gelegt. Zur Stabilität können sie über eine Schnur oder einem Stab mittig verbunden werden, sodass der Schwerpunkt der Bäle nicht verschoben wird. Dabei ist zu beachten, dass sich die Bälle nach wie vor getrennt voneinander bewegen können. Eine weitere Bedingung für den Versuch ist außerdem, dass der obere Ball jeweils leichter als der Ball unter ihm ist.

Wenn diese Bälle nun fallengelassen werden, kann man beobachten, dass der schwerere Ball am Boden liegen bleibt, nachdem er nur kurz reflektiert wird. Gleichzeitig springt der leichtere Ball weit über seine ursprüngliche Höhe hinaus.

Man kann das Experiment erweitern, indem man weitere Bälle übereinander anordnet. Dann spricht man auch von einer Ballpyramide.

Impulserhaltung

Ähnlich zum Kugelstoßpendel wird bei diesem Versuch die Impulserhaltung genutzt. Trifft der untere Ball auf den Boden, so wird er zusammengestaucht und dehnt sich wieder aus. Dabei dreht sich die Richtung seines Impulses um und er bewegt sich wieder nach oben. Wenn er nun auf den zweiten Ball trifft, der noch runterfällt, überträgt der schwerere Ball seinen Impuls auf den Leichteren. Somit wird der schwerere Ball abgebremst und fällt zu Boden. Da der zweite Ball leichter ist, bekommt er eine größere Geschwindigkeit, damit der Impuls erhalten bleibt.

Berechnung

Idealer Fall

Unter der Annahme, dass wir zwei ideale Bälle mit rein elastischen Stößen haben, können wir die Endgeschwindigkeit und -höhe direkt aus der Energie- und Impulserhaltung berechnen. Daraus ergibt sich

${\begin{aligned}\qquad v_{2}'={\frac {m_{2}\cdot v_{2}+m_{1}\cdot (2v_{1}-v_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\qquad (1)\end{aligned}}$

Wobei

• $v_{1}$: Geschwindigkeit schwerer Ball vor dem Stoß
• $v_{2}$: Geschwindigkeit leichter Ball vor dem Stoß
• $v_{2}'$: Geschwindigkeit leichter Ball nach dem Stoß
• $m_{1}$: Masse schwerer Ball
• $m_{2}$: Masse leichter Ball

Unter der Annahme, dass nun beide Bälle kurz vor dem Stoß die gleiche Geschwindigkeit mit entgegengesetzter Richtung haben

$\qquad v_{2}=v=-v_{1}\qquad (2)$

Ist die Geschwindigkeit des leichteren Balls nach dem Stoß

$\qquad v_{2}'=v\cdot {\frac {m_{2}-3m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\qquad (3)$

Die maximale Höhe ist erreicht, wenn die gesamte kinetische Energie des Balls in potentielle Energie umgewandelt wurde. Wenn die Masse $m_{1}\gg m_{2}$ ist, erreicht der leichtere Ball das Dreifache seiner Anfangsgeschwindigkeit und damit das Neunfache der Ausgangshöhe.

Zwei Bälle

Weitere Energieverluste durch Verformung des schwereren Balls beim Auftreffen auf den Boden werden mit der Stoßzahl $k$ berücksichtigt. Der untere Ball hat so eine Geschwindigkeit $v_{1}=k\cdot v$, nachdem er vom Boden reflektriert wird. Die Geschwindigkeit des leichteren Balls nach dem Stoß mit dem Schwereren kann berechnet werden mit

$\qquad v_{2}'=v\cdot {\frac {m_{1}(k^{2}+2k)-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\qquad (4)$

Beim realen Fall gilt $k<1$ und im idealen Fall $k=1$, womit man wieder Formel $(3)$ erhält.

Drei und mehr Bälle

Wenn die Berechnung auf drei Bälle fortgesetzt werden soll, muss nun zusätzlich der Stoß von Ball 2 und Ball 3 betrachtet werden, wobei Ball 2 der mittlere Ball und Ball 3 der leichteste Ball ist. Erneut gelten bei dem Stoß der Impuls- und Energieerhaltungssatz. Somit ergibt sich eine Formel für die Geschwindigkeit des dritten Balls nach dem Stoß mit dem Zweiten

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \qquad v_3'=\frac {v}{1\cdot q_2} \cdot\biggl(\frac{(1+k)(k^2+2k-q_1)}{1+q_1}+k-q_2\biggr) \qquad (5)}

Dabei wurden die Massenverhältnisse $q_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}$und $q_{2}={\frac {m_{3}}{m_{2}}}$verwendet. Betrachtet man nun den Fall eines vollkommen elastischen Stoßes mit $k=1$und $m_{1}\gg m_{2}\gg m_{3}$, erhält man eine Geschwindigkeit $v_{3}'=7\cdot v$ und eine Endhöhe des dritten Balls, die dem 49-fachen der Ausgangshöhe entspricht.

Für eine Pyramide aus weiteren Bällen kann die Rechnung analog weitergeführt werden, indem nur die Stöße von je zwei benachtbarten Bällen betrachtet werden.

Supernova dargestellt mit dem "Astroblaster"

Impulsübertrag in einer Supernova

Bei einer Supernova verteilt sich Materie nach gleichem Prinzip. Wenn die Fusion im Inneren eines Sterns endet, sinkt der thermische Druck und der Stern kollabiert unter dem Gravitationsdruck. Die äußere Materie fällt in das Innere des Sterns, bis der Kollaps stoppt. Dies geschieht plötzlich, wenn die Dichte eines Atomkerns erreicht ist ($\rho =10^{1}6kg/m^{3}$). Dadurch wird eine Rückstoßwelle ausgelöst, die radial nach außen läuft und gegen die äußeren und leichteren Elemente stößt. Die äußere Hülle des Sterns besteht dabei vor allem aus Wasserstoff. Dieser wird wie der leichte Ball in der Ballpyramide auf ein Vielfaches seiner Ausgangsgeschwindigkeit nach außen beschleunigt.

Astroblaster

Auf dieser Idee basiert auch das Spiel "Astroblaster" von Stirling Colgate. Das Spielzeug besteht aus vier verschieden schweren Kugeln, die auf einem Stab aufgereiht sind. Die schwerste Kugel ist fest mit einem Stab verbunden, während die zwei mittleren Kugeln sich auf dem Stab bewegen können. Da der Stab am Ende einen größeren Durchmesser hat, wird verhindert, dass die zwei mittleren Kugeln vom Stab rutschen. Nur die obereste und leichteste Kugel kann vom Stab genommen werden. Ein Teil dieses Stabes ragt über die Bälle hinaus und hilft dabei die Ballpyramide senkrecht über den Boden zu halten. Wenn dieser nun losgelassen wird, fliegt der leichteste Ball auf das über 10-fache seiner Ausgangshöhe.

Literatur

der fliegende Zirkus der Physik S.22

Spektrum der Wissenschaft März 2005 S. 116 (Artikel online)

Physik und Didaktik 22 - 1994, 3 S. 251-254

Weblinks

Video von Dianna Cowern zur Ballpyramide [1]

Einzelnachweise

Kategorie:Physikalisches Spielzeug

Kategorie:Physikalisches Experiment