Potentielle Energie

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Wasserkraftwerke nutzen die potentielle Energie eines Stausees. Je größer die gespeicherte Wassermenge und je größer der Höhenunterschied der Staustufe, desto mehr elektrische Energie kann das Kraftwerk liefern.

Die potentielle Energie (auch Lageenergie) beschreibt die Energie eines physikalischen Systems, die durch seine aktuelle Konfiguration in sich (z. B. gespannte Feder - eine gespannte Feder hat aufgrund ihrer Konfiguration mehr potentielle Energie als eine entspannte) oder seine Lage in einem Kraftfeld bestimmt wird. Die SI-Einheit der potentiellen Energie ist das Joule (Einheitenzeichen J). Ein Körper kann je nach seiner Lage in beispielsweise einem Gravitationsfeld oder einem elektrischen Feld verschiedene potentielle Energie haben.

Potentielle Energie ist zum Beispiel jene Energie, die ein Körper durch seine Höhenlage hat: Wenn ein Stein aus 20 Meter Höhe herabfällt, hat er die doppelte Arbeitsfähigkeit als bei 10 Meter Fallhöhe. Während des Falls wird die potentielle Energie in kinetische Energie oder andere Energieformen umgewandelt und verringert sich. In Wasserkraftwerken kann man potentielle Energie des Wassers eines Stausees in elektrische Energie umwandeln.

Ebenso wie andere Formen der Energie ist die potentielle Energie eine Zustandsgröße eines physikalischen Systems. In einem abgeschlossenen System kann die potentielle Energie bei Zustandsänderungen zwar zu- oder abnehmen, etwa bei Verschiebung des Körpers, bei seiner Höhenänderung oder bei Anregung eines Atoms durch Strahlung. Wegen des Prinzips der Energieerhaltung nimmt dann aber eine andere Energieform (z. B. kinetische Energie, elektrische Feldenergie) im selben Maß ab oder zu.

Als Formelzeichen für die potentielle Energie wird Epot oder U verwendet, in der theoretischen Physik ist V verbreitet. Oft wird auch ungenau vom Potential gesprochen, wenn die potentielle Energie gemeint ist.

Potentielle Energie im Gravitationsfeld[Bearbeiten]

Hauptartikel: Gravitationsenergie

Einführung[Bearbeiten]

Zur Einführung betrachten wir einen Radfahrer, der eine ebene Strecke befährt, dann einen Berg hoch und als letztes hinunter fährt. Die Betrachtung soll zunächst ohne Reibungskräfte erfolgen.

Auf ebener Strecke fährt der Radfahrer mit einer bestimmten Geschwindigkeit, was einer bestimmten kinetischen Energie entspricht. Fährt er den Berg hinauf, so muss er mehr Energie aufwenden um die gleiche Geschwindigkeit (und damit gleiche kinetische Energie) aufrechtzuerhalten. Aufgrund der Energieerhaltung kann aber keine Energie verloren gehen und die Energie, die der Radfahrer beim Anstieg mehr aufwendet, muss irgendwo hin fließen: Die mehr aufgewendete Energie wird in potentielle Energie umgewandelt. Je höher er steigt, desto mehr potentielle Energie besitzt der Radfahrer. Beim Abstieg müsste der Radfahrer sogar bremsen, um seine Geschwindigkeit zu halten und damit seine kinetische Energie konstant zu halten. Bremst er nicht, so wird er schneller und besitzt immer mehr kinetische Energie. Der Zuwachs seiner kinetischen Energie kann aber aufgrund der Energieerhaltung nicht ohne Verlust einer anderen Energieform einhergehen. Der Zuwachs der kinetischen Energie ergibt sich aus dem Verlust von potentieller Energie.

Radfahrer im Detail mit Reibung[Bearbeiten]

Darstellung der Kräfte auf den Radfahrer. Eingezeichnet sind die Gewichtskraft FG, die sich in die Hangabtriebskraft FGH und Normalkraft FGN zerlegen lässt, sowie die Reibungskraft FR

Der Radfahrer erreicht auf ebener Strecke ohne viel Mühe 20 km/h, da er nur gegen den Luftwiderstand und die Rollreibung antreten muss. Kommt er nun an einen ansteigenden Streckenabschnitt, muss er sich bei gleicher Geschwindigkeit stärker anstrengen als zuvor. Nach Erreichen der Kuppe geht es bergab und der Radfahrer rollt ohne Tretbewegungen weiter, muss sogar bremsen, damit er nicht zu schnell wird.

Auf den Fahrer samt Rad wirken zwei Kräfte: die Reibungskraft und die Gewichtskraft. Im ersten Streckenabschnitt zeigt die Gewichtskraft senkrecht zur Straße und weist somit nach Anwendung der Kräftezerlegung keine Kraftkomponente in Bewegungsrichtung auf. Kommt nun ein Anstieg, ergibt die Zerlegung der Gewichtskraft eine Kraftkomponente entgegen der Bewegungsrichtung. Nach Überschreiten der Kuppe hat die Schwerkraft eine Komponente in Bewegungsrichtung und entgegen der Reibungskraft.

Für eine Bewegung entgegen der Gewichtskraft muss am Körper Arbeit aufgewendet werden, die nun als potentielle Energie in ihm gespeichert ist. Bei einer Bewegung die eine Komponente in Richtung der Gewichtskraft enthält leistet der Körper Arbeit und seine potentielle Energie nimmt ab. Die Wegkomponente in Richtung Gewichtskraft heißt Höhe und zusammen mit der Kraft ergibt sich:

E_\mathrm {pot} \equiv U_\mathrm{G} = F_\mathrm G \, h = m \, g \, h

Allgemeinere Beschreibung[Bearbeiten]

Im Allgemeinen ist die Gravitationsfeldstärke und damit die Gewichtskraft ortsabhängig. Damit gilt:

\begin{align}
    U_\mathrm G(\vec r) & = -\int \vec F d \vec r = -\int m \, \vec g(\vec r) \cdot \mathrm d \vec r
\end{align}

Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass man etwas entgegen der wirkenden Kraft bewegen muss, um die potentielle Energie zu erhöhen.

Beispiel: Potentielle Energie auf der Erdoberfläche[Bearbeiten]

Setzt man \vec g(\vec r) konstant (was auf der Erdoberfläche für kleine Höhenunterschiede näherungsweise gilt), so ergibt sich wieder die im vorigen Abschnitt beschriebene Gleichung:

\begin{align}
    U_\mathrm G(\vec r) & = -\int_{R}^{R+h} m \, \vec g \cdot \mathrm d \vec r = mgh
\end{align}

Beispiel: Potentielle Energie auf einer Planetenoberfläche[Bearbeiten]

Die potentielle Energie eines Teilchens auf einer Planetenoberfläche entspricht der Arbeit, die verrichtet werden muss, um dieses Teilchen ins Unendliche zu transportieren. Dies entspricht der Energie, um es aus dem Gravitationsfeld zu entfernen, da im Unendlichen das Gravitationsfeld verschwindet. Betrachtet man ein System aus einem Planeten und einem Probeteilchen, so ist die potentielle Energie eines Teilchens auf der Planetenoberfläche maximal. Mit der Vereinbarung, dass der Ursprung im Planetenmittelpunkt liegt und der Planet einen Radius R hat, erhält man durch Einsetzen des Newtonschen Gravitationsgesetzes

U_\mathrm{max}=\int_{R}^{\infty} \frac{GMm}{r^2}\, \mathrm{d}r=GMm\int_{R}^{\infty} \frac{1}{r^2}\, \mathrm{d}r=GMm\left[-\frac{1}{r}\right]^\infty_R=\frac{GMm}{R}=m \, g \, R

als potentielle Energie des Probeteilchens auf der Planetenoberfläche. Im letzten Schritt wurde die neue planetenabhängige Konstante

g=\frac{GM}{R^2}

definiert. Hierbei ist M die Masse des Planeten, m die Masse des Probeteilchens und G die Gravitationskonstante.

Potentielle Energie einer gespannten Feder[Bearbeiten]

Hauptartikel: Spannenergie

Aus der Federkraft

F(x) = -k x,

ergibt sich für die potentielle Energie

 U(x) = -\int_0^x F(x) \mathrm d x = {1 \over 2} k x^2.

Hierbei ist k die Federkonstante und x die Auslenkung der Feder aus der Ruhelage.

Potentielle Energie und der Energieerhaltungssatz[Bearbeiten]

In einem abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung und unter Vernachlässigung jedweder Reibung gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik:

E = T + U = \text{const.}

In Worten: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie, einschließlich der Rotationsenergie, ist konstant und entspricht der Gesamtenergie des mechanischen Systems.

Im Hamilton-Formalismus wird diese Gleichung als

H =\sum_k p_k \dot q_k-L = T + U

geschrieben, wobei H die Hamiltonfunktion und L die Lagrangefunktion ist.

Formale Definition[Bearbeiten]

Potential- und Gradientenfelder in der Physik;
skalare Felder (Potentialfelder):
VGGravitationspotential
Epotpotentielle Energie
VCCoulomb-Potential
Vektorfelder (Gradientenfelder):
gGravitationsbeschleunigung
FKraft
Eelektrische Feldstärke
Elektrisches Feld: Äquipotentiallinien (rot) und Feldlinien (schwarz) für zwei punktförmig konzentrierte Ladungen

Da ein konservatives Kraftfeld die Kraft \vec F(\vec r) auf einen Probekörper an einem beliebigen Ort definiert und mathematisch ein Gradientenfeld ist, existiert ein zum Kraftfeld äquivalentes skalares Feld U(\vec r). Dies ist die potentielle Energie für den jeweiligen Ort. Aus der Umkehrung des Arbeitsintegrals folgt, das ein Energieanstieg entlang eines Weges eine Kraftkomponente in entgegengesetzter Richtung des Weges voraussetzt. Durch Zerlegung des Kraftfeldes in kartesische Komponenten ergeben sich in Abhängigkeit vom Ort folgende partielle Ableitungen:

- \vec F (\vec r) = \frac {\partial U(\vec r)}{\partial x} \vec e_x + \frac {\partial U(\vec r)}{\partial y} \vec e_y + \frac {\partial U(\vec r)}{\partial z} \vec e_z

Allgemein lässt sich dies durch den Nabla-Operator \vec {\nabla} ausdrücken.

\vec F(\vec r) = -\vec {\nabla} U(\vec r)

Die Umkehrung der Ableitung führt zum Integral und ermittelt die Änderung der potentiellen Energie im Kraftfeld als Arbeitsintegrals mit negativem Vorzeichen. Hieran zeigt sich auch nachvollziehbar die Übertragbarkeit auf verschiedene Kraftfelder.

U(\vec r) = - \int \mathrm dW(\vec r) = -\int \vec F(\vec r) \cdot \mathrm d \vec r

Um die potentielle Energie eines Körpers zu vergrößern, muss Feldarbeit gegen die Kräfte eines konservativen Kraftfeldes verrichtet werden. So besitzt jeder massebehaftete Körper in einem Gravitationsfeld potentielle Energie. Diese kann jedoch nur erhöht oder vermindert werden, wenn der Körper gegen oder in Richtung der Gravitationskraft verschoben wird. Bei einer Verschiebung senkrecht zu den Feldlinien behält der Körper seine potentielle Energie bei. Ein solcher Bereich nennt sich Äquipotentialfläche oder -linie und entspricht einer Höhenlinie auf der Landkarte. Die Feldlinie dagegen beschreibt die Richtung der Steigung.

Wegunabhängigkeit der Verschiebungsarbeit im konservativen Kraftfeld

Sofern keine Reibungsverluste oder sonstige Wechselwirkungen mit der Umgebung auftreten gilt für eine Verschiebung in konservativen Kraftfeldern das Prinzip der Wegunabhängigkeit. Das bedeutet unabhängig vom eingeschlagenen Weg muss gleich viel Feldarbeit verrichtet werden damit ein Körper vom Ausgangspunkt zum Zielpunkt gelangt. Hierin spielt sich der Energieerhaltungssatz wieder, da die Arbeit der Energieänderung entspricht.

Die Wahl des Bezugsniveau kann beliebig erfolgen, jedoch reduzieren pragmatischen Gründe die Auswahl. Im Zweifelsfall immer als Nullniveau geeignet ist der Ausgangspunkt des untersuchten Körpers. Beim Gravitationsfeld bildet häufig die Erdoberfläche den Bezugspunkt oder allgemein der niedrigste Punkt der Umgebung. Darüber hinaus kann der Bezugspunkt an einen unendlich weit entfernten Ort verlegt werden (|\vec r| \rightarrow \infty). Die Umkehrung davon bildet die maximale potentielle Energie, bei der ein Körper von seinem Ausgangspunkt aus dem Kraftfeld heraus bewegt wird, wobei ein zentrales Kraftfeld angenommen sei.

U_\mathrm{max}=-\int_{R}^{\infty} \vec F(r) \mathrm{d}r

Bei elektrischen Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens führt dies zur minimalen potentiellen Energie.

Beispiel: Potentielle Energie im elektrischen Feld[Bearbeiten]

Die Kraft auf eine Ladung in einem gegebenen elektrischen Feld errechnet sich aus:

 \vec F_\mathrm C ( \vec r ) = q \, \vec E ( \vec r ).

Durch Einsetzen in das Arbeitsintegral zeigt sich nun die Beziehung zwischen der potentiellen Energie einer Ladung und dem Coulombpotential, das ebenfalls ein Skalarfeld darstellt. Beide Felder unterscheidet nur der Proportionalitätsfaktor Ladung:

\begin{align}
    U_\mathrm C(\vec r) & = -\int q \, \vec E(\vec r) \cdot \mathrm d \vec r \\
    \, & = - q \, \phi (\vec r).
\end{align}

\phi ist dabei das sogenannte Coulombpotential.

Zusammenhang zwischen potentieller Energie und Potential[Bearbeiten]

Hauptartikel: Potential (Physik)

Der Begriff der potentiellen Energie hängt eng mit dem Begriff des Potentials zusammen, welches eine äquivalente Darstellung eines konservativen Kraftfeldes darstellt. Die potentielle Energie E_{\mathrm{pot}} eines physikalischen Systems ist das Produkt aus Kopplungskonstante k des Teilchens bezüglich des Kraftfeldes \vec{F}(\vec{r}), dem es ausgesetzt ist (z. B. Masse m im Falle des Gravitationsfeld, Ladung q im Falle des Elektrischen Felds), und dem Potential \phi(\vec{r}) des Kraftfeldes:

E_{\mathrm{pot}}(\vec{r}):=k\,\phi(\vec{r}).

Das Potential hängt über die Definition \vec{F}(\vec{r})=-\vec{\nabla}E_{\mathrm{pot}}(\vec{r}) mit dem Kraftfeld zusammen. Aufgrund dieser Definition ist die potentielle Energie nur für Teilchen in konservativen Kraftfeldern definiert und der Nullpunkt der Energieskala beliebig festlegbar.[1][2]

Beispiel Gravitationsfeld[Bearbeiten]

Die Kraft auf einen Probekörper der Masse m in einem gegebenen Gravitationsfeld errechnet sich aus:

 \vec F_\mathrm G ( \vec r ) = m \, \vec g ( \vec r ).

Durch Einsetzen in das Arbeitsintegral zeigt sich nun die Beziehung zwischen der potentiellen Energie einer Masse und dem Gravitationspotential \phi_\mathrm G, das ebenfalls ein Skalarfeld darstellt.

\begin{align}
    U_\mathrm G(\vec r) & = -\int \vec F d \vec r = - m \int \vec g(\vec r) \cdot \mathrm d \vec r \\
    \, & = m \, \phi_\mathrm G (\vec r).
\end{align}

Anschaulich beschreibt der Faktor m die Abhängigkeit von dem Probekörper und das Potential \phi_\mathrm G (\vec r) die Feldeigenschaft.[3]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Alonso, Finn: Physics, Addison-Wesley (1992), ISBN 0-201-56518-8, S. 169
  2. Demtröder: Experimentalphysik 1, Springer (2008), ISBN 978-3-540-79294-9, S. 63
  3. Gerthsen: Physik (21. Auflage); S. 49

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Potential energy – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien