Unverfälschter Konfidenzbereich

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Ein unverfälschter Konfidenzbereich, auch unverfälschte Bereichsschätzfunktion oder unverzerrter Konfidenzbereich ist ein spezieller Konfidenzbereich in der mathematischen Statistik. Die unverfälschtheit selbst ist kein Optimalitätsbegriff, ermöglicht aber die Konstruktion von optimalen Kofidenzbereichen wie von Konfidenzbereichen mit minimalem Volumen. Ist der Konfidenzbereich eindimensional, so spricht man entsprechend von einem unverfälschten/unverzerrten Konfidenzintervall bzw. von einer unverfälschten Intervallschätzfunktion

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ sowie ein Entscheidungsraum $(\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })$ und eine zu schätzende Funktion

$g\colon \Theta \to \Gamma$,

die im parametrischen Fall auch als Parameterfunktion bezeichnet wird.

Ein Konfidenzbereich

$C\colon X\to {\mathcal {P}}(\Gamma )$

heißt ein unverfälschter Konfidenzbereich, wenn für alle $\vartheta ,\vartheta '\in \Theta$

$P_{\vartheta }(\{g(\vartheta )\in C\})\geq P_{\vartheta }(\{g(\vartheta ')\in C\})$

gilt. Für jedes $\vartheta$ ist als die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Parameter $g(\vartheta )$ zu überdecken, größer als die Wahrscheinlichkeit einen beliebigen anderen Parameter $g(\vartheta ')$ zu überdecken.

Allgemeine Definition über Formhypothesen

Unter den selben Rahmbenbedingungen wie oben heißt ein Konfidenzbereich $C$zu den Formhypothesen $({\tilde {H}}_{\vartheta },{\tilde {K}}_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }$ und zu dem Konfidenzniveau $1-\alpha$ ein unverfälschter Konfidenzbereich, wenn für alle $\vartheta \in \Theta$

$P_{\vartheta }(\{\gamma \in C\})\leq 1-\alpha$ für alle $\gamma \in {\tilde {K}}_{\vartheta }$

ist.

Jeder Wert aus der "zu vermeidenden Menge" ${\tilde {K}}_{\vartheta }$ wird als seltener überdeckt als jeder Wert aus der zu "zu überdeckenden Menge" ${\tilde {H}}_{\vartheta }$ (siehe hierzu Formhypothesen#Konfidenzbereiche zu Formhypothesen)

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8. 

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ sowie ein Entscheidungsraum $(\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })$ und Formhypothesen $({\tilde {H}}_{\vartheta },{\tilde {K}}_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }$ für eine zu schätzende Funktion

$g\colon \Theta \to \Gamma$,

die im parametrischen Fall auch als Parameterfunktion bezeichnet wird.

Sei ${\mathcal {K}}_{1-\alpha }$ die Menge aller Konfidenzbereiche mit Konfidenzniveau