Einschrittverfahren

In der numerischen Mathematik ist ein Einschrittverfahren eine Methode zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen. Im Gegensatz zu Mehrschrittverfahren werden hier zur Berechnung der Näherung an die Lösung keine Daten von vorhergehenden Zeitpunkten benutzt.

Definition

Ein Verfahren bei dem die numerische Näherungslösung $u_{i}\approx y(t_{i})$ des Anfangswertproblems:

$y'(t)=f(t,y(t))\;,\quad y(t_{0})=y_{0}$

mit einer Rekursionsformel der Art

$u_{i+1}:=u_{i}+h\Phi (t_{i},u_{i},u_{i+1},h,f)$

berechnet wird, heißt Einschrittverfahren. $\Phi$ heißt dabei Verfahrensfunktion oder Inkrementfunktion. Ist die Inkrementfunktion unabhängig von $u_{i+1}$ so spricht man von einem expliziten Einschrittverfahren, ansonsten von einem impliziten Einschrittverfahren. Implizite Verfahren sind bei steifen Anfangswertproblemen besser geeignet als explizite.

Die wichtigste Klasse von Einschrittverfahren sind die Runge-Kutta-Verfahren.

Beispiel: Das explizite Euler-Verfahren

Das explizite Euler-Verfahren

$u_{i+1}:=u_{i}+hf(t_{i},u_{i})$

ist ein Einschrittverfahren mit der Inkrementfunktion:

$\Phi (t_{i},u_{i},h,f):=f(t_{i},u_{i})$.

Die implizite Form dieses Verfahrens ist das implizite Euler-Verfahren.

Literatur

• Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76492-2, Kap. 11: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 
• Peter Deuflhard, Folkmar Bornemann: Numerische Mathematik 2 – Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-020356-1. 
• David F. Griffiths, Desmond J. Higham: Numerical Methods for Ordinary Differential Equations – Initial Value Problems. Springer, London 2010, ISBN 978-0-85729-147-9. 
• Robert Plato: Numerische Mathematik kompakt. 4. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1018-2, Kap. 7: Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme. 
• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4, Kap. 8: Anfangswertprobleme. 
• Karl Strehmel, Rüdiger Weiner, Helmut Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. 2. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1847-8.