Schwach positiv definite Matrix

Eine schwach positiv definite Matrix ist eine Komplexe Matrix welche positive Eigenwerte hat und ihre Eigenvektoren ein vollständige Menge bilden. Man kann diese Matrizen auch anders definieren in dem man sagt dass die Matrix $W$ mit realen positive Elemente hat und man sie zerlegen kann in $W=XDX^{-1}$ wobei $X$ eine beliebige invertiebare Matrix ist und $D$ positive Diagonale Elemente hat.

Daraus leitet sich eine Eigenschaft ab, dass schwach positiv definite Matrizen sich immer als Produkt zweier positiv definiter Matrizen schreiben lässt. Manche Autoren definiere so auch schwach positiv definite Matrizen. Das zeigt dass jede positiv definite Matrix auch eine schwach positive Matrix ist. Denn man kann jede positiv definite Matrix $A$ mit der Einheitsmatrix $I$ multiplizieren und erhält wieder die (schwach) postiv definite Matrix: $AI=A$.

Schwach positiv definite Matrizen werden angewandt in der Lösung zeitabhängiger Partielle Differentialgleichungen mit Hilfe des Runge-Kutta-Schemas.