Einheitsmatrix

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonalelemente eins und deren Außerdiagonalelemente null sind. Die Einheitsmatrix ist im Ring der quadratischen Matrizen das neutrale Element bezüglich der Matrizenmultiplikation. Sie ist symmetrisch, selbstinvers, idempotent und hat maximalen Rang. Die Einheitsmatrix ist die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums. Sie wird unter anderem bei der Definition des charakteristischen Polynoms einer Matrix, orthogonaler und unitärer Matrizen, sowie in einer Reihe geometrischer Abbildungen verwendet.

Definition[Bearbeiten]

Ist R ein Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1, dann ist die Einheitsmatrix I_n\in R^{n \times n} die quadratische Matrix

I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots  & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Eine Einheitsmatrix ist demnach eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonale gleich 1 sind. Als Schreibweise ist neben I_n (von Identität) auch E_n (von Einheit) gebräuchlich. Falls die Dimension aus dem Kontext hervorgeht, wird auch häufig auf den Index n verzichtet und nur I beziehungsweise E geschrieben.

Beispiele[Bearbeiten]

Ist R der Körper der reellen Zahlen und bezeichnen 0 und 1 die Zahlen Null und Eins, so sind Beispiele für Einheitsmatrizen:


I_1 = \begin{pmatrix}
1 \end{pmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
,\ 
I_4 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Komponenten[Bearbeiten]

Die Komponenten einer Einheitsmatrix lassen sich mit dem Kronecker-Delta

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{matrix} \right.

angeben. Die Einheitsmatrix der Größe n \times n kann so einfach durch

I_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}

notiert werden. Die Zeilen und Spalten der Einheitsmatrix sind die kanonischen Einheitsvektoren e_1, \ldots , e_n und man schreibt entsprechend

I_n = (e_1, \ldots , e_n),

wenn die Einheitsvektoren Spaltenvektoren sind.

Neutralität[Bearbeiten]

Für jede Matrix A \in R^{m \times n} gilt

I_m \cdot A = A \cdot I_n = A.

Demnach ergibt das Produkt aus einer beliebigen Matrix mit der Einheitsmatrix wieder die gleiche Matrix. Die Menge der quadratischen Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) Ring (R^{n \times n}, +, \cdot). Die Einheitsmatrix ist dann das Einselement in diesem Matrizenring, also das neutrale Element bezüglich der Matrizenmultiplikation.

Symmetrien[Bearbeiten]

Die Einheitsmatrix ist symmetrisch, das heißt für ihre Transponierte gilt

(I_n)^T = I_n,

und selbstinvers, das heißt für ihre Inverse gilt ebenfalls

(I_n)^{-1} = I_n.

Kenngrößen[Bearbeiten]

Für die Determinante der Einheitsmatrix gilt

\operatorname{det}(I_n) = 1,

was eine der drei definierenden Eigenschaften einer Determinante ist. Für die Spur der Einheitsmatrix gilt

\operatorname{spur}(I_n) = \sum_{i=1}^n 1.

Handelt es sich bei dem Ring um \Z, \Q, \R oder \C, erhält man demnach \operatorname{spur}(I_n)=n. Das charakteristische Polynom der Einheitsmatrix ergibt sich als

\chi_{I_n}(\lambda) = (\lambda-1)^n.

Der einzige Eigenwert ist demnach \lambda = 1 mit Vielfachheit n. In der Tat gilt I_n\cdot x=1\cdot x für alle x des Modul R^n. Ist R ein kommutativer Ring, so ist der Rang der Einheitsmatrix durch

\operatorname{rang}(I_n) =  n

gegeben.

Potenzen[Bearbeiten]

Die Einheitsmatrix ist idempotent, das heißt

I_n \cdot I_n = I_n.

und sie ist die einzige Matrix mit vollem Rang mit dieser Eigenschaft. Für das Matrixexponential einer reellen oder komplexen Einheitsmatrix gilt damit

\exp(I_n) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(I_n)^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot I_n = e \cdot I_n,

wobei e die eulersche Zahl ist.

Verwendung[Bearbeiten]

Lineare Algebra[Bearbeiten]

Die Menge der regulären Matrizen der Größe n \times n bildet mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe. Für alle Matrizen A dieser Gruppe und ihre Inversen A^{-1} gilt dann

A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = I_n.

Das Zentrum dieser Gruppe sind gerade die Vielfachen (ungleich null) der Einheitsmatrix. Für eine orthogonale Matrix A \in \R^{n \times n} gilt nach Definition

A \cdot A^T = A^T \cdot A = I_n

und entsprechend dazu für eine unitäre Matrix A \in \C^{n \times n}

A \cdot A^H = A^H \cdot A = I_n.

Diese Matrizen bilden jeweils Untergruppen der entsprechenden allgemeinen linearen Gruppe. Die nullte Potenz einer quadratischen Matrix A \in R^{n \times n} wird als

A^0 = I_n

festgelegt. Weiter wird die Einheitsmatrix bei der Definition des charakteristischen Polynoms

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_n).

einer quadratischen Matrix verwendet. Die Einheitsmatrix ist die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung \operatorname{id} \colon V \to V eines endlichdimensionalen Vektorraums V.

Geometrie[Bearbeiten]

In der analytischen Geometrie werden Einheitsmatrizen unter anderem bei der Definition folgender Abbildungsmatrizen T verwendet:

T = -I
T = m \cdot I
T = 2 v v^T - I
T = I - 2 n n^T
T = I - P

Programmierung[Bearbeiten]

In dem numerischen Softwarepaket MATLAB wird die Einheitsmatrix der Größe n \times n durch die Funktion eye(n) erzeugt.[1] In Mathematica erhält man die Einheitsmatrix durch IdentityMatrix[n].

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Einsmatrix, eine Matrix, die nur aus Einsen besteht
  • Nullmatrix, eine Matrix, die nur aus Nullen besteht
  • Standardmatrix, eine Matrix, die aus genau einer Eins und sonst nur Nullen besteht
  • Permutationsmatrix, eine Matrix, die durch Zeilen- oder Spaltenvertauschungen aus einer Einheitsmatrix entsteht
  • Elementarmatrix, eine Matrix, die sich nur an einer Position oder durch Zeilentausch von einer Einheitsmatrix unterscheidet

Literatur[Bearbeiten]

  •  Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3.
  •  Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-33008-9.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: MATLAB 7: Eine Einführung. Springer, 2007, S. 18.

Weblinks[Bearbeiten]