„Zentralschnitt-Theorem“ – Versionsunterschied
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----[1] Ronald Bracewell, Fourier Analysis and Imaging, Springer Science+Business Media, New York, 2003 ISBN ()"30648187·1 |
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Das Zentralschnitt-Theorem wird etwa im Bereich der [[Tomografie|tomografischen]] Rekonstruktion angewendet. Indem Projektionen aus verschiedenen Winkeln eines Objekts erstellt werden, kann das Objekt im Fourier-Raum beschrieben werden und damit auch im realen Raum, über eine inverse Fourier-Transformation.<ref>{{Literatur |Autor=C.Barry Carter, David B. Williams (Eds.) |Titel=Transmission Electron Microscopy: Diffraction, Imaging and Spectrometry |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Switzerland |Datum=2016 |ISBN=978-3-319-26649-7 |DOI=10.1007/978-3-319-26651-0 |Seiten=}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=J. Scott Tyo, Andrey Alenin |Titel=Field Guide to Linear Systems in Optics |Hrsg=SPIE, the international society for optics and photonics |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=2015 |ISBN= |DOI=10.1117/3.1002932 |Seiten= |Online=https://www.spiedigitallibrary.org/ebooks/FG/Field-Guide-to-Linear-Systems-in-Optics/Projection-Slice-Theorem/Projection-Slice-Theorem/10.1117/3.1002932.ch55?SSO=1&tab=ChapterArticleLink}}</ref> |
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In der [[Computertomographie]] wird das Messinstrument um die Probe rotiert und erstellt so Projektionen aus verschiedenen Winkeln. In der [[Elektronenmikroskop|Elektronenmikroskopie]] ist das Messinstrument meist statisch, während die Probe schrittweise geneigt wird und so Projektionen aus verschiedenen Winkeln erstellt werden.<ref>{{Literatur |Autor=Peter W. Hawkes, John C.H. Spence (Eds.) |Titel=Springer Handbook of Microscopy |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=Springer Nature |Ort=Switzerland |Datum=2019 |ISBN=978-3-030-00068-4 |Seiten=}}</ref> |
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----[2] Peter W. Hawkes, John C.H. Spence (Eds.), Springer Handbook of Microscopy. Springer Nature Switzerland AG 2019 ISBN 978-3-030-00068-4 |
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== Einzelnachweise == |
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Version vom 3. November 2020, 10:10 Uhr
Das Zentralschnitt-Theorem (auch Fourier-Schnitt-Theorem) ist ein Theorem aus dem Bereich der Signaltheorie.
Inhalt
Das Zentralschnitt-Theorem besagt, dass die Projektion einer Funktion in der Richtung die eindimensionale Fouriertransformation des Schnitts durch in der Richtung ist, wobei bzw. die mit bzw. korrespondierenden Raumfrequenzen sind. Der Schnitt geht dabei stets durch den Ursprung im Fourier-Raum ().[1]
Beweis
Es soll gezeigt werden, dass der Schnitt entlang der -Achse (im Fourier-Raum) die eindimensionale Fouriertransformation der Projektion auf die -Achse im realen Raum ist, also .
Die zweidimensionale Fouriertransformation der Funktion lautet:
.
Um den Schnitt entlang der -Achse zu erhalten, wird für der Wert eingesetzt. Das ergibt:
.
![{\displaystyle F(u,0)=\int _{\infty }^{\infty }[\int _{\infty }^{\infty }f(x,y)dy]e^{-i2\pi ux}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ca4270e3c204a72bd9f9de2952da521e7aedeb)
Der Ausdruck in den eckigen Klammern entspricht der oben beschriebenen Projektion. Damit beschreibt die eindimensionale Fourier-Transformation dieser Projektion.[1]
Dieser Beweis lässt sich auf den allgemeinen Fall ausweiten, da er auch für beliebig verschobene oder rotierte Projektionen gilt. Das Zentralschnitt-Theorem gilt auch in höheren Dimensionen.
Anwendung
Das Zentralschnitt-Theorem wird etwa im Bereich der tomografischen Rekonstruktion angewendet. Indem Projektionen aus verschiedenen Winkeln eines Objekts erstellt werden, kann das Objekt im Fourier-Raum beschrieben werden und damit auch im realen Raum, über eine inverse Fourier-Transformation.[2][3]
In der Computertomographie wird das Messinstrument um die Probe rotiert und erstellt so Projektionen aus verschiedenen Winkeln. In der Elektronenmikroskopie ist das Messinstrument meist statisch, während die Probe schrittweise geneigt wird und so Projektionen aus verschiedenen Winkeln erstellt werden.[4]
[2] Peter W. Hawkes, John C.H. Spence (Eds.), Springer Handbook of Microscopy. Springer Nature Switzerland AG 2019 ISBN 978-3-030-00068-4
Einzelnachweise
- ↑ a b Ronald Bracewell: Fourier Analysis and Imaging. Springer Science+Business Media, New York 2003, ISBN 978-1-4613-4738-5 (englisch).
- ↑ C.Barry Carter, David B. Williams (Eds.): Transmission Electron Microscopy: Diffraction, Imaging and Spectrometry. Springer International Publishing, Switzerland 2016, ISBN 978-3-319-26649-7, doi:10.1007/978-3-319-26651-0.
- ↑ J. Scott Tyo, Andrey Alenin: Field Guide to Linear Systems in Optics. Hrsg.: SPIE, the international society for optics and photonics. 2015, doi:10.1117/3.1002932 (spiedigitallibrary.org).
- ↑ Peter W. Hawkes, John C.H. Spence (Eds.): Springer Handbook of Microscopy. Springer Nature, Switzerland 2019, ISBN 978-3-03000068-4.