Fourier-Transformation

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Fourier-Transformation für aperiodische Funktionen. Oftmals versteht man unter Fourier-Transformation auch das Bilden der Fourier-Koeffizienten einer Fourier-Reihe.

Die Fourier-Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier-Transformation; Aussprache: fuʁie) ist eine Methode der Fourier-Analysis, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch Fourier-Transformierte oder Spektralfunktion. Diese Integraltransformation ist benannt nach dem Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 die Fourier-Reihen einführte, ein Analogon der kontinuierlichen Fourier-Transformation für periodische Signale.

Definition[Bearbeiten]

Sei f \in L^1(\R^n) eine integrierbare Funktion. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte \mathcal{F}(f) von f ist definiert durch


\mathcal{F}(f)(t)
  = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}}
      \int_{\R^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x
,

wobei \mathrm{d} x ein n-dimensionales Volumenelement, sowie \mathrm{i} die imaginäre Einheit ist und mit t \cdot x das Standardskalarprodukt der Vektoren t und x gemeint ist. Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und in der Signalverarbeitung ist es üblich, den Faktor 1/(2\pi)^{\frac{n}{2}} wegzulassen, so dass die Rücktransformation den Vorfaktor 1/(2\pi)^n\, erhält. Die Transformation lautet dann:


\hat f(t)
  = \mathcal{F}(f)(t)
  = \int_{\R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x
und 
f(x)
  = \mathcal{F}^{-1}(\hat f)(x)
  = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\R^n} \hat f(t)\, e^{\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} t\,.

Dies hat den Nachteil, dass im Satz von Parseval ein Vorfaktor auftaucht, was bedeutet, dass die Fouriertransformation dann keine unitäre Abbildung mehr auf L^1( \mathbb{R}^n)\cap L^2( \mathbb{R}^n) ist. In anderen Worten, die Signalleistung ändert sich dann durch die Fouriertransformation. In der Literatur zu Signalverarbeitung und Systemtheorie findet man auch folgende Konvention, die ohne Vorfaktoren auskommt:


\mathcal{F}(f)(t)
  = \int_{\R^n} f(x)\, e^{-2\pi \mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x
und 
f(x)
  = \mathcal{F}^{-1}(\hat f)(x)
  = \int_{\R^n} \hat f(t)\, e^{2\pi \mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} t\,.

Die reelle Form der Fourier-Transformation wird als Hartley-Transformation bezeichnet. Für reelle Funktionen f kann die Fourier-Transformation durch die Sinus- und Kosinus-Transformation substituiert werden.

Beispiel[Bearbeiten]

Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

 f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \cos(\omega_s t) \Theta(t)

oder in komplexer Schreibweise:

 f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}) \Theta(t)

Hier ist x_0 die Amplitude und \omega_s die Kreisfrequenz der Schwingung, \tau die Zeit nach der die Amplitude auf 1/e abgefallen ist und \Theta(t) die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

\begin{align}
F(\omega)=\mathcal{F}(f)(\omega)
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} 
     \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} 
     \int_{-\infty}^\infty x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} 
           \cdot \tfrac{1}{2} 
           \left(e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}\right) 
           \Theta(t) \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t} 
           \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} 
      \int_{0}^\infty 
        e^{-\frac{t}{\tau}} 
        \cdot \tfrac{1}{2} 
        \left(e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}\right) 
        \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t} 
        \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} 
     \int_{0}^\infty 
     \left(
       e^{-t\left(\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega)\right)} 
     + e^{-t\left(\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega)\right)} 
     \right)
     \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} 
     \left[ 
     - \frac{1}{\frac{1}{\tau} -\mathrm{i}(\omega_s  -\omega ) } 
        e^{-t\left(\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega)\right)} 
     - \frac{1}{\frac{1}{\tau} +\mathrm{i}(\omega_s  +\omega ) } 
       e^{-t\left(\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega)\right)} 
     \right]_0^\infty\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} 
     \left( 
       \frac{1}{\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega)} 
     + \frac{1}{\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega)} 
     \right)\\
&= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} 
     \frac{ 
       \frac{1}{\tau} + \mathrm{i} \omega 
     }{ 
       (\frac{1}{\tau} + \mathrm{i} \omega)^2 + \omega_s^2 
     }\,.
\end{align}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Linearität[Bearbeiten]

Die Fourier-Transformation \mathcal{F} ist ein linearer Operator. Das heißt, es gilt \mathcal{F}(a \cdot f + b \cdot g) = a \cdot \mathcal{F}(f) + b \cdot \mathcal{F}(g).

Stetigkeit[Bearbeiten]

Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vom Raum der integrierbaren Funktionen L^1(\R^n) in den Raum der Funktionen C_0(\R^n), die im Unendlichen verschwinden. Mit C_0(\R^n) ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für |x| \to \infty verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch als Lemma von Riemann-Lebesgue bekannt. Außerdem gilt die Ungleichung

\|\mathcal{F}(f)\|_{L^\infty(\R^n)} \leq \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}\|f\|_{L^1(\R^n)}.

Differentiationsregeln[Bearbeiten]

Sei f \in S(\R^n) \subset L^1(\R^n) eine Schwartz-Funktion und \alpha \in \N_0^n ein Multiindex. Dann gilt

  • \mathcal{F}(f) \in S(\R^n) und D^\alpha(\mathcal{F}(f)) = (-i)^{|\alpha|} \mathcal{F}(x^\alpha f).
  • \mathcal{F}(D^\alpha f)(\xi) = i^{|\alpha|} \xi^\alpha \mathcal{F}(f)(\xi).

Fixpunkt[Bearbeiten]

Die Dichtefunktion

\varphi(x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}^n} \cdot e^{-\frac {1}{2} \|x\|^2}

mit x\in \R^n der (n-dimensionalen) Gauß'schen Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle x \in \R^n die Gleichung

 \mathcal{F}(\varphi)(x) = \varphi(x).

Insbesondere ist also \varphi eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert 1. Mit Hilfe des Residuensatzes oder mit Hilfe partieller Integration und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral \textstyle \tfrac {1}{(2\pi)^n} \int_\R \cdot e^{ix \xi}e^{-\frac {1}{2} x^2} \mathrm{d} x bestimmt werden.

Spiegelsymmetrie[Bearbeiten]

Für f \in S(\R^n) gilt für alle x \in \R^n die Gleichung

\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))(x) = f(-x).

Rücktransformationsformel[Bearbeiten]

Sei f \in L^1(\R^n) eine integrierbare Funktion derart, dass auch \mathcal{F}(f) \in L^1(\R^n) gilt. Dann gilt die Rücktransformation

\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(f))(x) = f(x)= \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{\mathrm{i} t x} \mathcal{F}(f)(t) \,\mathrm{d} t.

Diese wird auch Fouriersynthese genannt. Auf dem Schwartz-Raum S(\R^n) ist die Fouriertransformation ein Automorphismus.

Faltungstheorem[Bearbeiten]

Das Faltungstheorem für die Fourier-Transformation besagt, dass die Faltung zweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für f,g\in L^1(\mathbb{R}^n) gilt also

\mathcal{F}(f*g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \, \mathcal{F}(f)\cdot \mathcal{F}(g).

Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[1]

\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \mathcal{F}(f\cdot g).

Fourier-Transformation von L2-Funktionen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Für eine Funktion f \in L^2(\R^n) ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch

\mathcal{F}(f)(\xi) = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{B_r(0)} f(x) e^{-ix \xi} \mathrm{d} x.

Die Konvergenz ist im Sinne von L^2 zu verstehen und B_r(0) = \{x \in \R^n : |x| \leq r\} ist die Kugel um den Ursprung mit Radius r. Für Funktionen f \in L^2(\R^n) \cap L^1(\R^n) stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein. Da die Fouriertransformation bezüglich des L^2-Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und L^2(\R^n)\cap L^1(\R^n) in L^2(\R^n) dicht liegt, folgt, dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des L^2(\R^n) ist. Dies ist die Aussage des Satzes von Plancherel.

Hausdorff-Young-Ungleichung[Bearbeiten]

Seien 1 \leq p \leq 2 und \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1. Für f \in L^p(\R^n) ist \mathcal{F}(f) \in L^q(\R^n) und es gilt

\|\mathcal{F}(f)\|_{L^q(\R^n)} \leq (2 \pi)^{\frac{n}{q}} \|f\|_{L^p(\R^n)}.

Die Fourier-Transformation \mathcal{F} : L^2(\R^n) \to L^2(\R^n) hat also eine Fortsetzung zu einem stetigen Operator \mathcal{F} : L^p(\R^n) \to L^q(\R^n), der durch

\mathcal{F}(f)(\xi) = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^n} \int_{B_r(0)} f(x) e^{-ix \xi} \mathrm{d} x

beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von L^q zu verstehen.

Differentiationsregel[Bearbeiten]

Falls die Funktion f schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwarzfunktionen. Sei also f \in W^{k,2}(\R^n) = H^k(\R^n) eine k-mal schwach differenzierbare L2-Funktion und \alpha ein Multiindex mit |\alpha| \leq k. Dann gilt

\mathcal{F}(D^\alpha f) = i^{|\alpha|} \xi^\alpha \mathcal{F}(f).

Unitäre Abbildung[Bearbeiten]

Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen L^2-Skalarproduktes eine unitäre Abbildung, das heißt es gilt

\langle\mathcal{F}(f), g \rangle_{L^2} = \int_{\R^n} \overline{\mathcal{F}(f)}(x) g(x) \mathrm{d} x = \int_{\R^n} \overline{f}(x) \mathcal{F}^{-1}(g)(x) \mathrm{d} x = \langle f, \mathcal{F}^{-1}(g) \rangle_{L^2}.

Fourier-Transformation im Raum der temperierten Distributionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Temperierte Distribution

Sei u \in S'(\R^n) eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte \mathcal{F}(u) ist für alle \phi \in S(\R^n) definiert durch

\mathcal{F}(u)(\phi) := u(\mathcal{F}(\phi)).

Stattet man den Raum S'(\R^n) mit der schwachen Topologie aus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf S'(\R^n). Ihre Umkehrabbildung lautet

u(\phi)(-x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\mathcal{F}(\mathcal{F}(u))(\phi)(x).

Fourier-Transformation von Maßen[Bearbeiten]

Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche Borel-Maße auf \R^n definiert:

\check \mu(x) = \int e^{i xy} \mu (dy)

heißt inverse Fourier-Transformierte des Maßes. Die charakteristische Funktion ist dann die inverse Fourier-Transformierte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Partielle Differentialgleichungen[Bearbeiten]

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die Differentiationsregel und das Faltungstheorem sind dabei von essentieller Bedeutung. Am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung wird nun gezeigt, wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet

\left\{\begin{array}{rcll}
\frac{\partial u}{\partial t} (x,t) &=& \Delta_x u(x,t) &\mathrm{in}\ \R^n \times ]0,\infty[\\
u(x,t) &=& g(x,t) &\mathrm{auf}\ \R^n \times \{t = 0\}\,.
\end{array}\right.

Hierbei bezeichnet \Delta_x den Laplace-Operator, der nur auf die x-Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der x-Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt

\left\{\begin{array}{rcll}
\mathcal{F}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) (\xi,t) &=& -|\xi|^2 \mathcal{F}(u)(\xi,t) &\mathrm{in}\ \R^n \times ]0,\infty[\\
\mathcal{F}(u)(\xi,t) &=& \mathcal{F}(g)(\xi,t) &\mathrm{auf}\ \R^n \times \{t = 0\}\,.
\end{array}\right.

Hierbei handelt es sich nun um eine gewöhnliche Differentialgleichung, die die Lösung

\mathcal{F}(u)(\xi,t) = e^{-t|\xi|^2} \mathcal{F}(g)(\xi,t)

hat. Daraus folgt \textstyle u(x,t) = \mathcal{F}^{-1}\left(\exp(-t|\xi|^2) \mathcal{F}(g)\right)(x,t) und aufgrund des Faltungstheorems gilt

u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}}

mit \mathcal{F}(F)(\xi,t) = \exp(-t |\xi|^2). Daraus folgt

F(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^\frac{n}{2}} \int_{\R^n} e^{ix \cdot y - t|y|^2} \mathrm{d} y = \frac{1}{(2t)^\frac{n}{2}} e^{\frac{-|x|^2}{4t}}\,.

Das ist die Fundamentallösung der Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung

u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} = \frac{1}{(4 \pi t)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4t}} g(\xi) \mathrm{d}\xi\,.

Tabelle wichtiger Fourier-Transformations-Paare[Bearbeiten]

In diesem Kapitel folgt eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare.

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
 g(t) G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t  G(f)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t
g(t - a) e^{- i a \omega} G(\omega) e^{- i 2\pi a f} G(f) Zeitverschiebung
e^{ iat} g(t) G(\omega - a) G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right) Frequenzverschiebung
g(a t) \frac{1}{|a|} G \left( \frac{\omega}{a} \right) \frac{1}{|a|} G \left( \frac{f}{a} \right) Frequenzskalierung
g^{(n)}(t) (i\omega)^n G(\omega) (i 2\pi f)^n G(f) Hier ist n eine natürliche Zahl und g eine Schwartz-Funktion. g^{(n)} bezeichnet die n-te Ableitung von g.

Quadratisch integrierbare Funktionen[Bearbeiten]

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
 g(t) G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t
\exp\left(-\frac{a t^2}{2}\right) \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \exp\left(-\frac{\omega^2}{2a}\right) \begin{matrix}\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\end{matrix} \exp\left(-\begin{matrix}\frac{2\pi}{a}\end{matrix}\cdot \pi f^2\right) Die Gaußsche Funktion \exp(-t^2/2) ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss \mathrm{Re}(a)>0 sein.
\mathrm{rect}(a t) \frac{1}{\sqrt{2 \pi} |a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right) Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion (\mathrm{sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x)).
\mathrm{si}(a t) \equiv \frac{\mathrm{sin}(a t)}{a t} \frac{1}{|a|} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 a}\right) \frac{\pi}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\pi}{a} f \right) Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die si-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
\exp\left(-a|t|\right) \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{\omega^{2}+a^{2}} \frac{2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}} a>0. Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
\frac{1}{t^{2}+a^{2}} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}\exp\left(-a|\omega|\right) \frac{\pi}{a}\exp\left(-2\pi a|f|\right)

Distributionen[Bearbeiten]

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
g(t) G(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t
e^{i a t} \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a) \delta(f - \frac{a}{2\pi})
\cos (a t) \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2} \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}
\sin( at) \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i} \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}
t^n i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega) \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f) Hier ist n eine natürliche Zahl und \delta^{(n)} die n-te Ableitung der Delta-Distribution.
\frac{1}{t^n} -i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega) -i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)
\sgn(t) \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega } \frac{1}{i\pi f}
\Theta(t) \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right) \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right) \Theta(t) ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix}  \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right) \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) Das Signal heißt Dirac-Kamm.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten. Z.B. wie in Fouriertransformation für Fußgänger, Tilman Butz, Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53, Google Books