Symmetrische Gleichung

Eine symmetrische Gleichung ist eine polynomiale (ganzrationale) Gleichung, deren Koeffizientenfolge symmetrisch ist. Leonhard Euler hat diesen Gleichungstyp auch als reziproke Gleichung bezeichnet, da die Substitution von $\textstyle x$ durch $\textstyle {\frac {1}{x}}$ nach Multiplikation mit der höchsten Potenz von $\textstyle x$ wieder auf dieselbe Gleichung führt. Daneben ist mit jeder Lösung $\textstyle x$ auch $\textstyle {\frac {1}{x}}$ eine Wurzel der Gleichung. Sind die Koeffizienten dem Betrag nach symmetrisch, unterscheiden sich aber nach dem Vorzeichen, spricht man von einer antisymmetrischen Gleichung.

Definition

Eine polynomiale Gleichung $n$-ten Grades

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}=0$

heißt symmetrisch, wenn $a_{k}=a_{n-k}$ für alle $k=0,1,\dotsc ,n$ gilt. Gilt dagegen $a_{k}=-a_{n-k}$, so wird die Gleichung antisymmetrisch genannt. Das Polynom

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}$

wird dann auch palindromisch (engl.: palindromic polynomial) bzw. antipalindromisch genannt.

Eigenschaften

Es sei $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}$ ein Polynom vom Grad $n$ mit reellen oder komplexen Koeffizienten.

1. Wenn $p(x)$ palindromisch oder antipalindromisch ist, ist $a_{0}\neq 0$.
2. Wenn $p(x)$ antipalindromisch und $n$ gerade ist, gilt $a_{n/2}=0$.
3. $p(x)$ ist genau dann palindromisch, wenn $p(x)=x^{n}p(1/x)$, und genau dann antipalindromisch, wenn $p(x)=-x^{n}p(1/x)$.
4. Wenn $p(x)$ palindromisch und $n$ ungerade ist, gilt $p(-1)=0$. Wenn $p(x)$ antipalindromisch ist, gilt $p(1)=0$.
5. Wenn $p(x)$ palindromisch oder antipalindromisch und $p(x_{0})=0$ ist, so ist $x_{0}\neq 0$ und $p(1/x_{0})=0$. $x_{0}$ und $1/x_{0}$ sind dann Lösungen derselben Vielfachheit der (anti-)symmetrischen Gleichung $p(x)=0$.
6. Sind $p(x)$ und $q(x)$ palindromische Polynome, so auch das Produkt $p(x)\cdot q(x)$. Sind beide Faktoren antipalindromisch, so ist das Produkt ebenfalls palindromisch. Ist ein Faktor palindromisch und der andere antipalindromisch, so ist das Produkt antipalindromisch.
7. Sind $p(x)$ und $p(x)\cdot q(x)$ palindromische oder antipalindromische Polynome, so ist auch $q(x)$ palindromisch oder antipalindromisch.
8. Ist mit jeder Lösung $x_{0}$ der Gleichung $p(x)=0$ auch der Reziprokwert $1/x_{0}$ eine Lösung der Gleichung mit derselben Vielfachheit wie $x_{0}$, dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.
9. Ist $r(x)$ ein Polynom vom Grad $m$, so ist $x^{m}\cdot r\left(x+{\tfrac {1}{x}}\right)$ ein palindromisches und $x^{m}\cdot r\left(x-{\tfrac {1}{x}}\right)$ ein antipalindromisches Polynom vom Grad $2m$.
10. Ist $p(x)$ ein palindromisches (bzw. antipalindromisches) Polynom vom Grad $n=2m$, so existiert genau ein Polynom $r(x)$ vom Grad $m$ mit $p(x)=x^{m}\cdot r\left(x+{\tfrac {1}{x}}\right)$ (bzw. $p(x)=x^{m}\cdot r\left(x-{\tfrac {1}{x}}\right)$).
11. Wenn alle Koeffizienten $a_{i}$ reell sind und alle komplexen Nullstellen von $p(x)$ den Betrag 1 haben, dann ist $p(x)$ palindromisch oder antipalindromisch.

Allgemeine Lösungsstrategien

Besondere Lösungsstrategien helfen bei Gleichungen ab 5. Grad, da hier keine allgemeine Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen mehr existiert.

Symmetrische Gleichungen

Symmetrische Gleichungen können bis zum Grad 9 auf Gleichungen 4. Grades (oder kleiner) zurückgeführt werden, so dass alle Nullstellen bestimmt werden können.

Die allgemeine Lösungsstrategie für symmetrische Gleichungen mit geradem Grad $n$ und reellen Koeffizienten beruht auf folgenden Schritten:

1. Division aller Glieder des Polynoms durch $\textstyle x^{\frac {n}{2}}$
2. Zusammenfassen der Glieder mit gleichem Koeffizienten und Ausklammern des Koeffizienten $a_{i}=a_{n-i}$
3. Substitution $\textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u$, $\textstyle (x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})=u^{2}-2$, $\textstyle (x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}})=u^{3}-3\cdot u$ usw.
4. Ausmultiplizieren führt zu einem Polynom in $u$ vom Grad $\textstyle {\frac {n}{2}}$
5. Lösungen für $u$ berechnen
6. Einsetzen jeder Lösung von $u$ in die Substitutionsgleichung $\textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u$ und Auflösung nach $x$, so dass mit jedem $u$ zwei Lösungen $x$ aus der Gleichung $x^{2}-u\cdot x+1=0$ bestimmt werden können.

Bei symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten ist eine Nullstelle entweder 1 oder −1 (Vorzeichen entgegengesetzt zu $\textstyle a_{0}$) . Diese wird durch Einsetzen bestimmt, anschließend wird der entsprechende Linearfaktor $\textstyle (x-1)$ oder $\textstyle (x+1)$ mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine symmetrische Gleichung geraden Grades entsteht.

Berechnung der Substitutionen

Weitere Substitutionen für höhere Potenzen lassen sich so ermitteln: Sucht man beispielsweise die Substitution für $\textstyle (x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}})$, so lässt sich mit dem Ansatz

$\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{4}=u^{4}$

durch ausmultiplizieren der Ausdruck

$\left(x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)+4\cdot \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+6=u^{4}$

gewinnen. Einsetzen der bereits bekannten Substitution $\textstyle (x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})=u^{2}-2$ und ordnen führt auf

$x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}=u^{4}-4\cdot u^{2}+2$

Auf diese Art lassen sich rekursiv weitere Substitutionen für höhere Potenzen von $x$ aus den bereits bekannten Substitutionen für kleinere Potenzen konstruieren.

Resubstitution zur Berechnung der Lösungen

Sobald man eine Lösung $u_{i}$ gefunden hat, löst man die Substitutionsgleichung $\textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u_{i}$ nach $x$ auf. Dadurch ergeben sich für jedes $u_{i}$ zwei Lösungen für $x$ aus der quadratischen Gleichung

$x^{2}-u_{i}\cdot x+1=0$,

und damit für jedes $u_{i}$

$x_{1/2}={\frac {u_{i}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {u_{i}^{2}}{4}}-1}}$.

Das absolute Glied der quadratischen Gleichung ist 1, so dass sich aus dem Vietaschen Wurzelsatz ergibt, dass die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung reziprok sein müssen. Es wird also zu jedem $x$ auch $\textstyle {\frac {1}{x}}$ bestimmt.

Andere reziproke Gleichungen

Für reziproke Gleichungen, bei denen neben jedem $\textstyle x_{i}$ auch immer $\textstyle -{\frac {1}{x_{i}}}$ eine Lösung ist, lassen sich Substitutionen konstruieren und damit Lösungen berechnen. Dazu eignet sich die Substitution

$x-{\frac {1}{x}}=u$

Mit den bereits beschriebenen Methoden können Substitutionen von höheren Potenzen ermittelt werden:

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=u^{2}+2;\qquad x^{3}-{\frac {1}{x^{3}}}=u^{3}+3\cdot u;\qquad x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}=u^{4}+4\cdot u^{2}+2$

Wie sich hier zeigt, ist $\textstyle x^{2\cdot n}+{\frac {1}{x^{2\cdot n}}}$ für die geraden Potenzen von $x$ eine Summe, keine Differenz.

Damit lassen sich beispielsweise folgende spezielle Gleichungstypen lösen:

$x^{4}\pm a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}\mp a\cdot x+1=0$

$x^{6}\pm a\cdot x^{5}+b\cdot x^{4}+c\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}\mp a\cdot x+1=0$

$x^{8}\pm a\cdot x^{7}+b\cdot x^{6}\pm c\cdot x^{5}+d\cdot x^{4}\mp c\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}\mp a\cdot x+1=0$

Wie an den Beispielen leicht zu erkennen ist, haben diese Gleichungen nicht die Struktur einer antisymmetrischen Gleichung im Sinne der oben gegebenen Definition. Die Lösung durch Substitution ist nur möglich, wenn ungleiche Vorzeichen stets und nur bei den Koeffizienten von ungeraden Potenzen auftreten.

Lösungsformeln für spezielle Gleichungen

Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Substitution auf eine Gleichung in $\textstyle u$ führt.

Symmetrische Gleichung 4. Grades

Für eine quartische Gleichung in Normalform

$x^{4}+a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+a\cdot x+1=0$

ergibt sich nach Division durch $x^{2}$ und Zusammenfassung der Glieder:

$\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+a\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+b=0$

Nach der Substitution mit $\textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u$ und $\textstyle (x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})=u^{2}-2$ ergibt sich die quadratische Gleichung in $u$:

$u^{2}+a\cdot u+b-2=0$

Daraus ermittelt man die Lösungen $u_{1}$ und $u_{2}$.

Beispiel: Die Gleichung $6x^{4}-5x^{3}-38x^{2}-5x+6=0$ wird durch die genannte Substitution zur quadratischen Gleichung $6u^{2}-5u-50=0$ mit den Lösungen 10/3 und 5/2 für $u$, woraus sich die Gleichungen $3x^{2}-10x+3=0$ und $2x^{2}+5x+2=0$ mit den Lösungen −2; −1/2; 1/3 und 3 auch der ursprünglichen Gleichung ergeben.

Symmetrische Gleichung 6. Grades

Für eine Gleichung 6. Grades in Normalform

$x^{6}+a\cdot x^{5}+b\cdot x^{4}+c\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+a\cdot x+1=0$

ergibt sich nach Division durch $x^{2}$ und Zusammenfassung der Glieder:

$\left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)+a\cdot \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+b\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+c=0$

Nach der Substitution mit $\textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u$ und $\textstyle (x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})=u^{2}-2$ und $\textstyle (x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}})=u^{3}-3\cdot u$ ergibt sich die kubische Gleichung in $u$:

$u^{3}+a\cdot u^{2}+(b-3)\cdot u-2\cdot a+c=0$

Daraus ermittelt man die Lösungen $u_{1}$, $u_{2}$ und $u_{3}$ mit Hilfe der Lösungsformeln für die kubischen Gleichung.

Symmetrische Gleichung 8. Grades

Für eine Gleichung 8. Grades in Normalform

$x^{8}+a\cdot x^{7}+b\cdot x^{6}+c\cdot x^{5}+d\cdot x^{4}+c\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+a\cdot x+1=0$

ergibt sich nach Division durch $x^{2}$ und Zusammenfassung der Glieder:

$\left(x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)+a\cdot \left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)+b\cdot \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+c\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+d=0$

Nach der Substitution mit $\textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u$ und $\textstyle (x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})=u^{2}-2$, $\textstyle (x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}})=u^{3}-3\cdot u$ und $\textstyle (x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}})=u^{4}-4\cdot u^{2}+2$ ergibt sich die quartische Gleichung in $u$:

$u^{4}+a\cdot u^{3}+(b-4)\cdot u^{2}+(c-3\cdot a)\cdot u-2\cdot b+d+2=0$

Daraus ermittelt man die Lösungen $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ und $u_{4}$ mit Hilfe der Lösungsformeln für die quartische Gleichung.

Weitere Beispiele

• Die Nullstellen der quadratischen Gleichung lassen sich mit den bekannten Lösungsformeln am schnellsten bestimmen.
• Bei kubischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten ist entweder +1 oder −1 eine Lösung, wobei man die korrekte Lösung durch Einsetzen bestimmt. Danach führt eine Polynomdivision zu einer quadratischen (symmetrischen) Gleichung.

Beispiele:

• Die linke Seite der symmetrischen Gleichung 3. Grades $3x^{3}+13x^{2}+13x+3=0$ mit den Lösungen −1/3, −1 und −3 wird durch Division durch $(x+1)$ zu $3x^{2}+10x+3$, woraus sich die weiteren Lösungen ergeben.
• Die linke Seite der antisymmetrischen Gleichung 3. Grades $3x^{3}+7x^{2}-7x-3=0$ mit den Lösungen −1/3, 1 und −3 wird durch Division durch $(x-1)$ ebenfalls zu $3x^{2}+10x+3$, woraus sich die weiteren Lösungen ergeben.

• Bei der quintischen Gleichung (Gleichung 5. Grades) ist entweder +1 oder −1 eine Lösung, auch hier bestimmt man die korrekte Lösung durch Einsetzen. Eine Polynomdivision durch $(x+1)$ bzw. $(x-1)$ führt zu einer symmetrischen Gleichung 4. Grades.

Literatur

• Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50340-9, 3.3 Wurzelgleichungen, Reziproke Gleichungen, S. 59 ff..