„Stratonowitsch-Integral“ – Versionsunterschied
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|Autor=Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier |
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|Hrsg=Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden |
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|Titel=Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale |
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|ISBN=978-3-519-02229-9 |
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*{{Literatur|Autor=Philip E. Protter|Titel=Stochastic Integration and Differential Equations|Hrsg=Springer|Datum=2004|ISBN=3-540-00313-4}} |
*{{Literatur|Autor=Philip E. Protter|Titel=Stochastic Integration and Differential Equations|Hrsg=Springer|Datum=2004|ISBN=3-540-00313-4}} |
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*{{Literatur |Autor=Bernt K. Øksendal, Bernt K. |Titel=Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications | Hrsg=Springer, Berlin | Datum=2003 | ISBN=3-540-04758-1}} |
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== Einzelnachweise == |
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Version vom 23. April 2023, 11:55 Uhr
Das Stratonowitsch-Integral (auch Fisk-Stratonowitsch-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative für das Itō-Integral. Beide Integrale lassen sich ineinander transformieren. Im Unterschied zu dem Itō-Integral, wo man für die Konstruktion nur den linken Endpunkt des Zerlegungsintervalls benötigt
nützt man beim Stratonowitsch-Integral das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes
Der Vorteil des Stratonowitsch-Integrals gegenüber dem Itō-Integral ist, dass die Itō-Formel nur Differentiale erster Ordnung besitzt.
Das Fisk-Stratonowitsch-Integral ist nach Ruslan Stratonowitsch und Donald Fisk benannt.
Stratonowitsch-Integral
Seien und Semimartingale und . Dann ist das Stratonowitsch-Integral von bezüglich definiert als[1]
Für stetige Semimartingale
Wenn und stetige Semimartingale sind, dann ist
oder in Differentialschreibweise
Erläuterungen
- Die Definition des Stratonowitsch-Integrales lässt sich verallgemeinern, so dass nicht mehr ein Semimartingal ist, sondern lediglich adaptiert und càdlàg.
Herleitung
Das Stratonowitsch-Integral erhält man, wenn man das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes des Zerlegungsintervall nimmt. Sei eine Partition von und stetige Semimartingale. Dann gilt
Beziehung zwischen dem Itō- und Stratonowitsch-Integral
Es gilt folgende Beziehung zwischen den beiden Integralbegriffen
Wenn und stetige Semimartingale sind, dann gilt
Itō-Formeln
Sei ein -Semimartingal und , dann ist ein Semimartingal und es gilt[2]
Für stetige Semimartingale
Sei ein stetiges -Semimartingal und , dann ist ein Semimartingal und es gilt
Verallgemeinerungen
Eine Verallgemeinerung für Semimartingale mit Sprüngen ist das Marcus-Integral, welches man durch Umschreiben des Sprung-Terms erhält.
Literatur
- Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier: Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale. Hrsg.: Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. ISBN 978-3-519-02229-9, S. 349–544.
- Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4.
- Bernt K. Øksendal, Bernt K.: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Hrsg.: Springer, Berlin. 2003, ISBN 3-540-04758-1.
Einzelnachweise
- ↑ Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 82.
- ↑ Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.