„Delta-Methode“ – Versionsunterschied
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== Univariater Fall == |
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Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> mit zwei endlichen Konstanten <math>\mu</math> und <math>\sigma^2 \geq 0</math> |
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:<math> {\sqrt{n}(X_n-\mu)\xrightarrow{V}\mathcal{N}(0,\sigma^2)}</math> |
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gilt, wobei <math>\xrightarrow{V}</math> die [[Konvergenz in Verteilung]] bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion <math>g</math> mit <math>g'(\mu) \neq 0</math>: |
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:<math>{\sqrt{n}(g(X_n)-g(\mu))\xrightarrow{V}\mathcal{N}(0,\sigma^2 (g'(\mu))^2)}\;.</math><ref>{{Literatur |Autor=Larry Wasserman |Titel=All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-1-4419-2322-6 |Fundstelle= 5.13 ''Theorem (The Delta Method)'', S. 79 |DOI= 10.1007/978-0-387-21736-9}}</ref> |
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== Multivariater Fall == |
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Für eine Folge <math>p</math>-dimensionaler [[Zufallsvektor]]en <math>\mathbf X_1,\dots,\mathbf X_n</math> gelte |
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:<math> {\sqrt{n}(\mathbf X_n-\boldsymbol{\mu})\xrightarrow{V}\mathcal{N}_p(\mathbf{0},\boldsymbol{\Sigma})}</math> |
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mit <math>\boldsymbol{\mu} \in \R^p</math> |
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und einer positiv semidefiniten Matrix <math>\boldsymbol{\Sigma}\in \R^{p\times p} </math>. Für eine differenzierbare Funktion <math>g:\R^p \to \R</math> bezeichne <math>\nabla_\boldsymbol{\mu}</math> den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion <math>g</math> an der Stelle <math>\boldsymbol{\mu}</math>. Dann gilt |
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:<math>\sqrt{n}(g(\mathbf{X}_n)-g(\boldsymbol \mu)) \xrightarrow{V} \mathcal{N}\left(0,\nabla_\boldsymbol{\mu}^T \boldsymbol\Sigma \nabla_\boldsymbol{\mu}\right)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Larry Wasserman |Titel=All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-1-4419-2322-6 |Fundstelle= 5.15 ''Theorem (The Multivariate Delta Method)'', S. 79–80 |DOI= 10.1007/978-0-387-21736-9}}</ref> |
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== Beispiel == |
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Es sei <math>X_1,\ldots, X_n</math> eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>0 < \sigma^2 <\infty</math>. Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel <math>\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math> folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik |
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:<math>\sqrt{n} (\bar{X_n} - \mu) \xrightarrow{V} \mathcal{N}(0,\sigma^2)</math>. |
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Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von <math>Y_n = \mathrm{e}^{\bar X_n}</math> interessiert, dann ist <math>g(x) = \mathrm{e}^x</math>, <math>g'(x) = \mathrm{e}^x</math>, <math>g'(\mu) = \mathrm{e}^\mu</math> und <math>(g'(\mu))^2 = \mathrm{e}^{2\mu}</math>. Die Delta-Methode ergibt dann |
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:<math>\sqrt{n}(Y_n - \mathrm{e}^\mu) \xrightarrow{V} \mathcal{N}(0,\sigma^2 \mathrm{e}^{2\mu})\;.</math><ref>{{Literatur |Autor=Larry Wasserman |Titel=All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-1-4419-2322-6 |Fundstelle= 5.14 ''Example'', S. 79 |DOI= 10.1007/978-0-387-21736-9}}</ref> |
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== Literatur == |
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* {{Literatur |Titel=A Note on the Delta Method |Autor=Gary W. Oehlert |Sammelwerk=The American Statistician |Band=46 |Nummer=1 |Datum=1992 |Seiten=27–29 |JSTOR=2684406 |DOI=10.1080/00031305.1992.10475842}} |
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== Einzelnachweise == |
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<references/> |
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[[:Kategorie|Asymptotische Statistik]] |
Version vom 24. Oktober 2023, 11:37 Uhr
Die Delta-Methode ist in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie eine Methode um die asymptotische Verteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.
Univariater Fall
Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen mit zwei endlichen Konstanten und
gilt, wobei die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion mit :
Multivariater Fall
Für eine Folge -dimensionaler Zufallsvektoren gelte
mit und einer positiv semidefiniten Matrix . Für eine differenzierbare Funktion bezeichne den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion an der Stelle . Dann gilt
- .[2]
Beispiel
Es sei eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Varianz . Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik
- .
Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von interessiert, dann ist , , und . Die Delta-Methode ergibt dann
Literatur
- Gary W. Oehlert: A Note on the Delta Method. In: The American Statistician. Band 46, Nr. 1, 1992, S. 27–29, doi:10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR:2684406.
Einzelnachweise
- ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
- ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
- ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.