Sturm-Liouville-Problem

Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Joseph Liouville und Charles-François Sturm) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Finde alle komplexen Zahlen $\lambda$ für die die Differentialgleichung

$-\left(p\cdot \psi '\right)'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi$

auf dem Intervall $(a,b)$ eine Lösung besitzt die den Randbedingungen

$\alpha _{1}\cdot \psi (a)+\alpha _{2}\cdot \psi '(a)=0,\quad \beta _{1}\cdot \psi (b)+\beta _{2}\cdot \psi '(b)=0$

genügt.

Führt man den lineare Operatoren der Form

$L={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {d}{dx}}\,p\,{\frac {d}{dx}}+q\right)$

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung $L\psi =\lambda \psi$ mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion $w$ quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.

Ist das Interval kompakt und sind die Koeffizienten $w,p^{-1},q$ integrierbar so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizienten nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem.

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

Die Eigenwertgleichung

$-(p\cdot \psi ')'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi$

mit integriebaren reellen Funktionen $w(x)>0,p(x)^{-1}>0,q(x)$ zusammen mit Randbedingungen der Form

$\alpha _{1}\cdot \psi (a)+\alpha _{2}\cdot \psi '(a)=0,\quad \beta _{1}\cdot \psi (b)+\beta _{2}\cdot \psi '(b)=0$

(mit $\alpha _{i},\beta _{i}\in \mathbb {R} ,|\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|\neq 0,\;|\beta _{1}|+|\beta _{2}|\neq 0)$ nennt man ein „reguläres Sturm-Liouville-Problem“ über dem Intervall $[a,b]$, wenn dieses Intervall endlich ist.

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass es eine abzählbare Folge von reellen Eigenwerten gibt die gegen $+\infty$ konvergiert. Die zugehörigen Eigenfunktionen bilden eine Orthonormalbasis im Hilbertraum $L^{2}([a,b],w(x)dx)$ der bezüglich der Gewichtsfunktion $w$ quadratintegrierbaren Funktionen.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme

Sind obige Bedingungen nicht erfüllt, so spricht man von einem „singulären Sturm-Liouville-Problem“. Das Spektrum besteht dann im allgemeinen nicht mehr nur aus Eigenwerten und besitzt auch einen kontinuierlichen Anteil.

Wechseln $p$ oder $w$ das Vorzeichen so spricht man von einem „indefiniten Sturm-Liouville-Problem“

Eigenschaften und Anwendungen

siehe Kai Gehrs, Sturm-Liouville-Probleme

Literatur

Walter, Wolfgang: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2. 

Weidmann, Joachim: Lineare Operatoren in Hilberträumen / Teil 2. Anwendungen. 1. Auflage. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-02237-0.