Vergrößerungsfunktion

Die Vergrößerungsfunktion gibt im eingeschwungenen Zustand den Zusammenhang zwischen der Eingangs- und Ausgangsamplitude eines Schwingungssystems in Abhängigkeit der Erregerkreisfrequenz an. Sie ist ein Begriff aus der Maschinendynamik. Die Vergrößerungsfunktion wird auch als Amplituden-Frequenzgang des Systems bezeichnet. Der Vergrößerungsfaktor oder Verstärkungsfaktor ist der Wert der Vergrößerungsfunktion bei einer bestimmten Frequenz.

Masse, Feder, Dämpfer System

Ein lineares gedämpftes Schwingungssystem z. B. ein Masse, Feder, Dämpfer System kann durch eine periodische Kraft, die auf die Masse wirkt angeregt werden. Die Kraftamplitude bezogen auf die Federsteifigkeit k stellt die Eingangsamplitude dar. Der mathematische Zusammenhang zwischen der Ausgangsamplitude x und der Eingangsamplitude lautet dann:

Vergrößerungsfunktion in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis und der Lehrschen Dämpfung

$V_{1}={\frac {1}{\sqrt {(1-\eta ^{2})^{2}+(2\,D\eta )^{2}}}}$

Dabei bezeichnet:

• $\eta$ das Frequenzverhältnis $\omega /\omega _{0}$,
• D die Lehr'sche Dämpfung.
• $\omega$ die Erregerkreisfrequenz,
• $\omega _{0}$ die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz,
  • m die Masse
  • k die Federkonstante bzw. das Direktionsmoment,
  • c die Dämpfungskonstante

Das Maximum der Vergrößerungsfunktion V₁ tritt für D²<0.5 bei $\eta ={\sqrt {1-2\,D^{2}}}$ auf.

Es erreicht den Wert:

$V_{1,max}={\frac {1}{2D{\sqrt {1-D^{2}}}}}$.

Bei verschwindender Dämpfung treten im Resonanzfall theoretisch unendlich große Amplituden auf. Auf Grund des Einschwingvorgangs kann sich die Amplitude aber nur linear mit der Zeit aufbauen.

${\hat {x}}={\frac {\hat {F}}{2\,m\,\omega _{0}}}\cdot t$

Statt einer Kraftanregung auf die Masse kann das Schwingungssystem auch über das Feder/Dämpferelement angeregt werden. Diese Art der Anregung wird auch als Fußpunktanregung bezeichnet. Dabei ergibt sich die Vergrößerungsfunktion V₄ (siehe Schwingungsisolation, bzw. unten). Beispiel ist das Viertelfahrzeug als einfachstes Modell für das Schwingungsverhalten eines Pkw. Beispiele für die Vergrößerungsfunktionen bei verschiedenen Anregungsarten finden sich in.

Herleitung

Kraftanregung

Die Herleitung der Vergrößerungsfunktion bei Kraftanregung erfolgt aus der Differentialgleichung für eine erzwungene Schwingung. Gesucht sei die Amplitude x:

$m\;{\ddot {x}}+c\;{\dot {x}}+k\;x=F(t)$.

Durch Division mit k:

${\frac {m}{k}}\;{\ddot {x}}+{\frac {c}{k}}\;{\dot {x}}+x={\frac {1}{k}}\;F(t)$.

erhält man die Differentialgleichung:

${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\ddot {x}}+{\frac {2D}{\omega _{0}}}\;{\dot {x}}+x={\frac {1}{k}}\;F(t)=R(t)$.

Durch Anwendung der Laplace-Transformation erhält man die Übertragungsfunktion:

${\frac {x(s)}{R(s)}}=G(s)={\frac {1}{1+{\frac {2D}{\omega _{0}}}\;s+{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;s^{2}}}$

Mit $s=j\omega \,$ und $\eta =\omega /\omega _{0}\,$ erhält man den Frequenzgang:

$G(\omega )={\frac {1}{1-\eta ^{2}+j\cdot 2D\eta }}$

Die Vergrößerungsfunktion erhält man als Betrag des komplexen Frequenzgangs:

$V_{1}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-\eta ^{2}\right)^{2}+\left(2D\eta \right)^{2}}}}$

Weganregung

Der Schwinger wird über das Feder/Dämpferelement mit z(t) angeregt. Diese Form der Anregung wird als Fußpunktanregung bezeichnet. Gesucht sei die Amplitude x. Die Differentialgleichung lautet:

$m\;{\ddot {x}}+c\;{\dot {x}}+k\;x=c\;{\dot {z}}+k\;z$.

Durch Division mit k:

${\frac {m}{k}}\;{\ddot {x}}+{\frac {c}{k}}\;{\dot {x}}+x={\frac {c}{k}}\;{\dot {z}}+z$.

erhält man die Differentialgleichung:

${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\ddot {x}}+{\frac {2D}{\omega _{0}}}\;{\dot {x}}+x={\frac {2D}{\omega _{0}}}\;{\dot {z}}+z$.

Durch Anwendung der Laplace-Transformation erhält man die Übertragungsfunktion:

${\frac {x(s)}{z(s)}}=G(s)={\frac {1+{\frac {2D}{\omega _{0}}}\;s}{1+{\frac {2D}{\omega _{0}}}\;s+{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;s^{2}}}$

Mit $s=j\omega \,$ und $\eta =\omega /\omega _{0}\,$ erhält man den Frequenzgang:

$G(\omega )={\frac {1+j\cdot 2D\eta }{1-\eta ^{2}+j\cdot 2D\eta }}$

Die Vergrößerungsfunktion erhält man als Betrag des komplexen Frequenzgangs:

$V_{4}={\sqrt {\frac {1+\left(2D\eta \right)^{2}}{\left(1-\eta ^{2}\right)^{2}+\left(2D\eta \right)^{2}}}}$

Häufig ist nicht die Amplitude des Schwingers von Interesse, sondernd dessen Beschleunigung. Mit

${\frac {\hat {\ddot {x}}}{\hat {z}}}=\omega ^{2}\;{\frac {\hat {x}}{\hat {z}}}\;$

erhält man die Vergrößerungsfunktion:

${\frac {\hat {\ddot {x}}}{\hat {z}}}=\omega _{0}^{2}\;\eta ^{2}\;{\sqrt {\frac {1+\left(2D\eta \right)^{2}}{\left(1-\eta ^{2}\right)^{2}+\left(2D\eta \right)^{2}}}}$

Siehe auch

• Resonanzkatastrophe
• Resonanzfrequenz
• Resonanz (Physik)
• Torsionspendel

Literatur

• Hans Dresig: Maschinendynamik. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72032-4, S. 44 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).