Hamilton-Jacobi-Formalismus

Beim Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) wird durch eine besondere kanonische Transformation

$(q,p)\rightarrow (q',p')$

eine Hamilton-Funktion erzeugt, die für alle Zeiten $t$ gleich Null ist.

${\tilde {H}}(q',p',t)=0$

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten Ortskoordinaten $q'$, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten $p'$ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} \end{aligned}}$.

Die transformierte Hamilton-Funktion erhält man, indem man zur untransformierten Hamilton-Funktion die partielle Zeitableitung einer erzeugenden Funktion $S$ addiert.

${\tilde {H}}(q',p')=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion $S(q,p',t)$ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten und den neuen (konstanten) Impulsen $p'$ abhängt, so dass

$p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}$

Eingesetzt in ${\tilde {H}}=0$ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $S$:

$H(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen $q_{k}$ und $t$ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion $S$ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

Die transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, aber das Problem verlagert sich auf das Finden einer passenden Erzeugenden $S$.

Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus ist es die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer kanonischen Transformation zu vereinfachen. Dazu wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $S(q,p')$ konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

$H(p,q)\Rightarrow {\tilde {H}}(p')$

Für konservative Systeme ($H$ nicht explizit zeitabhängig) sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung. Die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit

${\dot {p}}'=-{\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial q}}=0\Leftrightarrow p'=\mathrm {const} ,$

${\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p}}=C\Leftrightarrow q'=Ct+b$ mit $C,b=\mathrm {const} .$

Für $S(q,p')$ muss gelten

$p={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}},$

$q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}$

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich

$H(q,p)\Rightarrow H(q,{\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}})={\tilde {H}}(p').$

Dies ist die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für konservative Systeme. Sie bestimmt $S(q,p')$.

Zur Veranschaulichung von $S$ wird die totale Zeitableitung berechnet

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}S(q,p')={\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial S}{\partial p'}}{\dot {p}}'=p{\dot {q}}+q'{\dot {p}}'=p{\dot {q}}$ wegen ${\dot {p}}'=0.$

Benutzt man nun die Lagrange´schen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion $L=T-V$, wobei $T$ die kinetische Energie ist, $V(q)$ das Potential):

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}S(q,p')={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=2T$.

Die zeitliche Integration liefert

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2T\ \mathrm {d} t=W,$

also ist $S(q,p')$ mit dem Wirkungsintegral identisch.

Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei $U=U(q)$ ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

$H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(q),$

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+U(q)={\tilde {H}}=E.$

Beim eindimensionalen Oszillator ist ${\tilde {H}}$ die einzige Konstante der Bewegung. Da $p'$ ebenfalls konstant sein muss, setzt man $p'={\tilde {H}}=E$, was für alle konservativen Systeme möglich ist.

$\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'$

Durch Integrieren folgt

$S(q,p')={\sqrt {2m}}\int _{q_{0}}^{q}{\sqrt {(p'-U({\tilde {q}}))}}\mathrm {d} {\tilde {q}},$

mit $q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}$

$q'={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {d{\tilde {q}}}{\sqrt {p'-U({\tilde {q}})}}}.$

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

${\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}={\frac {\partial E}{\partial p'}}={\frac {\partial p'}{\partial p'}}=1,$

$\Rightarrow q'=t-{t_{0}}.$

Um die Bewegung in $p(t)$ und $q(t)$ darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

$p(t)={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}={\sqrt {2m(p'-U(q))}},$

$q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {d{\tilde {q}}}{\sqrt {E-U({\tilde {q}})}}}.$

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit $U(q)={\frac {1}{2}}aq^{2}$

$p(t)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}aq^{2}\right)}},$

$q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {d{\tilde {q}}}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}a{\tilde {q}}^{2}}}}.$

Somit

$t-{t_{0}}={\sqrt {\frac {m}{a}}}\arcsin {\sqrt {\frac {a}{2E}}}q$

und letztlich

$q(t)={\sqrt {\frac {2E}{a}}}\sin {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0})},$

$p(t)={\sqrt {2mE}}\cos {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0}}).$

Literatur

• Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr ; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5. 

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.