Hamilton-Jacobi-Formalismus

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Beim Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) wird durch eine besondere kanonische Transformation eine Hamilton-Funktion erzeugt, die für alle Zeiten t gleich Null ist. Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten Ortskoordinaten $q'$ , als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten $p'$ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind. Die transformierte Hamilton-Funktion erhält man, indem man zur untransformierten Hamilton-Funktion die partielle Zeitableitung einer erzeugenden Funktion $S$ addiert.

$\tilde{H} (q', p') = H (q, p, t) + \frac {\partial S}{\partial t} = 0.$

Damit ist

$\frac {\partial \tilde {H}}{\partial p'_k} = \dot q'_k = 0 \Leftrightarrow q'_k = \mathrm{const}$ ,

$-\frac {\partial \tilde {H}}{\partial q'_k} = \dot p'_k = 0 \Leftrightarrow p'_k = \mathrm{const}$ .

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion S (q, p', t) gewählt, die von den alten Ortskoordinaten und den neuen (konstanten) Impulsen p' abhängt, so dass

$p_k = \frac {\partial {S (q_k, p'_k, t)}}{\partial q_k}$

Eingesetzt ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für S:

$H (q_k, \frac {\partial {S}}{\partial q_k}, t) + \frac {\partial S}{\partial t} = 0$

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen $q k$ und t für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion S (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

Die transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, aber das Problem verlagert sich auf das Finden einer passenden Erzeugenden $S$ .

[Bearbeiten] Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus ist es die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer kanonischen Transformation zu vereinfachen. Dazu wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $S (q, p')$ konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

$H(p,q) \Rightarrow \tilde{H}(p')$

Für konservative Systeme (H nicht explizit zeitabhängig) sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung. Die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit

$\dot p' = -\frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial q} = 0 \Leftrightarrow p' = \mathrm{const},$

$\dot q' = \frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial p} = C \Leftrightarrow q' = Ct + b$ mit $C, b = const.$

Für $S (q, p')$ muss gelten

$p = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q},$

$q' = \frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}$

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich

$H(q,p) \Rightarrow H(q,\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}) = \tilde {H}(p').$

Dies ist die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für konservative Systeme. Sie bestimmt $S (q, p')$ .

Zur Veranschaulichung von $S$ wird die totale Zeitableitung berechnet

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p') = \frac {\partial S}{\partial q} \dot q + \frac {\partial S}{\partial p'} \dot p' = p\dot q + q'\dot p' = p\dot q$ wegen $\dot p' = 0.$

Benutzt man nun die Lagrange´schen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion L = T-V, wobei T die kinetische Energie ist, V (q) das Potential):

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p') = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T$ .

Die zeitliche Integration liefert

$S = \int_{t_1}^{t_2} 2T\ \mathrm{d}t = W,$

also ist $S (q, p')$ mit dem Wirkungsintegral identisch.

[Bearbeiten] Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei $U = U (q)$ ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

$H(p,q) = \frac {p^2}{2m} + U(q),$

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

$\frac {1}{2m} \left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + U(q) = \tilde H = E.$

Beim eindimensionalen Oszillator ist $\tilde H$ die einzige Konstante der Bewegung. Da $p'$ ebenfalls konstant sein muss, setzt man $p' = \tilde H = E$ , was für alle konservativen Systeme möglich ist.

$\left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + 2mU(q) = 2mp'$

Durch Integrieren folgt

$S(q,p') = \sqrt {2m} \int_{q_0}^q \sqrt {(p' - U(\tilde{q}))} \mathrm{d}\tilde q,$

mit $q' = \frac{\partial S(q,p')}{\partial p'}$

$q' = \frac {m}{\sqrt{2m}} \int_{q_0}^q \frac {d\tilde q}{\sqrt {p' - U(\tilde q)}}.$

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

$\dot q' = \frac {\partial \tilde H(p')}{\partial p'} = \frac {\partial E}{\partial p'} = \frac {\partial p'}{\partial p'} = 1,$

$\Rightarrow q' = t - {t_0}.$

Um die Bewegung in $p (t)$ und $q (t)$ darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

$p(t) = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q} = \sqrt {2m(p'-U(q))},$

$q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {d \tilde q}{\sqrt {E - U(\tilde q)}}.$

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit $U(q) = \frac {1}{2}aq^2$

$p(t) = \sqrt {2m \left( E-\frac {1}{2}aq^2 \right)},$

$q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {d \tilde q}{\sqrt {E - \frac {1}{2}a \tilde {q}^2}}.$

Somit

$t - {t_0} = \sqrt {\frac {m}{a}}\arcsin \sqrt {\frac {a}{2E}}q$

und letztlich

$q(t) = \sqrt{\frac {2E}{a}}\sin \sqrt{\frac {a}{m}}(t-{t_0)},$

$p(t) = \sqrt {2mE}\cos \sqrt {\frac {a}{m}}(t-{t_0}).$

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[Bearbeiten] Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

[Bearbeiten] Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

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