Trigonometrischer Pythagoras

Geometrische Veranschaulichung zum Beweis des Trigonometrischen Pythagoras

Als Trigonometrischer Pythagoras wird die Identität $1=\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha$ bezeichnet. Ihre Gültigkeit kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

Herleitung

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $c$ und den Katheten $a$ und $b$

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\$

gilt.
Wird der Winkel $\alpha$ im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass $a$ seine Gegenkathete und $b$ seine Ankathete ist, so gilt allgemein

$a=\sin \alpha \cdot c$,

$b=\cos \alpha \cdot c$.

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz von Pythagoras ergibt dann

$c^{2}=c^{2}\cdot (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )$,

$1=\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \!\$.

Geometrische Veranschaulichung

In der nebenstehenden Skizze ist der Einheitskreis, d.h. ein Kreis mit Radius 1, und ein durch den Kreis erzeugtes rechtwinkliges Dreieck gezeigt. Anwenden des Satzes von Pythagoras zeigt sofort die Gültigkeit des Trigonometrischen Pythagoras.