(56,11,2)-Blockplan
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Der (56,11,2)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 56 × 56 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 11 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 2 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 56, k = 11, λ = 2), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dieser symmetrische 2-(56,11,2)-Blockplan wird Biplane der Ordnung 9 genannt.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 56, k = 11, λ = 2 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 56 Blöcken und 56 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 11 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 2 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 11 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 2 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es existieren genau fünf nichtisomorphe 2-(56,11,2) - Blockpläne[1][2]. Diese Lösungen sind:
- Lösung 1 (selbstdual) mit der Signatur 56·45 und den λ-chains 2520·3, 5040·4. Sie enthält 336 Ovale der Ordnung 6.
- Lösung 2 (selbstdual) mit der Signatur 36·21, 18·29, 2·45 und den λ-chains 1368·3, 2304·4, 144·5, 720·7, 288·8, 576·11. Sie enthält 120 Ovale der Ordnung 6.
- Lösung 3 (selbstdual) mit der Signatur 48·19, 4·21, 4·29 und den λ-chains 1112·3, 1424·4, 352·5, 128·6, 544·7, 224·8, 960·11. Sie enthält 64 Ovale der Ordnung 6.
- Lösung 4 (selbstdual) mit der Signatur 36·13, 18·21, 2·45 und den λ-chains 936·3, 1224·4, 288·5, 288·6, 576·7, 612·8, 720·11. Sie enthält 48 Ovale der Ordnung 6.
- Lösung 5 (selbstdual) mit der Signatur 30·11, 8·12, 18·15 und den λ-chains 696·3, 528·4, 360·5, 216·6, 408·7, 348·8, 1344·11. Sie enthält 44 Ovale der Ordnung 6.
Liste der Blöcke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 30 34 37 41 43 48 52 55 2 4 13 22 24 38 44 45 47 55 56 2 5 14 23 25 34 35 44 49 50 51 2 6 15 24 26 29 32 41 49 53 54 2 7 16 25 27 30 33 36 39 53 56 2 8 17 26 28 33 35 37 40 42 45 2 9 18 21 27 29 40 43 46 47 50 2 10 19 22 28 31 32 36 46 48 51 2 11 20 21 23 31 38 39 42 52 54 3 4 18 20 21 36 37 45 49 51 53 3 5 13 19 22 33 42 43 50 53 54 3 6 14 20 23 32 33 40 47 48 56 3 7 13 15 24 35 39 40 46 51 52 3 8 14 16 25 29 31 45 46 54 55 3 9 15 17 26 31 34 36 38 50 56 3 10 16 18 27 32 35 38 41 42 44 3 11 17 19 28 29 30 39 44 47 49 4 5 15 18 25 28 29 42 48 52 56 4 6 12 16 28 30 38 40 50 51 54 4 7 19 20 25 26 31 40 41 43 44 4 8 15 19 23 27 32 37 39 50 55 4 9 16 17 22 23 33 41 46 49 52 4 10 12 14 26 34 39 42 46 47 53 4 11 14 17 24 27 35 36 43 48 54 5 6 16 19 21 26 35 36 47 52 55 5 7 12 17 21 32 37 44 46 54 56 5 8 13 20 26 27 30 38 46 48 49 5 9 16 20 24 28 32 34 39 43 45 5 10 17 18 23 24 30 31 40 53 55 5 11 12 15 27 31 33 41 45 47 51 6 7 17 20 22 27 29 34 42 51 55 6 8 12 18 22 31 35 39 43 49 56 6 9 13 14 27 28 31 37 44 52 53 6 10 13 17 21 25 39 41 45 48 50 6 11 18 19 24 25 33 34 37 38 46 7 8 13 18 23 28 34 36 41 47 54 7 9 12 19 23 29 35 38 45 48 53 7 10 14 15 21 28 33 38 43 49 55 7 11 14 18 22 26 30 32 45 50 52 8 9 14 19 21 24 30 41 42 51 56 8 10 12 20 24 29 33 36 44 50 52 8 11 15 16 21 22 34 40 44 48 53 9 10 15 20 22 25 30 35 37 47 54 9 11 12 13 25 32 36 40 42 49 55 10 11 13 16 23 26 29 37 43 51 56
- Lösung 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 30 34 37 41 43 48 52 55 2 4 17 22 24 32 37 44 46 54 56 2 5 14 21 27 33 42 43 50 53 54 2 6 19 24 26 29 35 38 45 48 53 2 7 16 21 23 35 39 40 46 51 52 2 8 13 26 28 32 36 40 42 49 55 2 9 18 23 25 31 34 36 38 50 56 2 10 15 22 28 31 33 41 45 47 51 2 11 20 25 27 29 30 39 44 47 49 3 4 18 20 21 36 37 45 49 51 53 3 5 15 17 26 31 35 39 43 49 56 3 6 14 20 23 32 33 40 47 48 56 3 7 17 19 28 29 33 36 44 50 52 3 8 14 16 25 29 31 45 46 54 55 3 9 13 19 22 34 39 42 46 47 53 3 10 16 18 27 32 35 38 41 42 44 3 11 13 15 24 30 38 40 50 51 54 4 5 15 16 25 28 34 40 44 48 53 4 6 12 20 28 31 38 39 42 52 54 4 7 14 19 25 26 30 41 42 51 56 4 8 13 17 23 27 39 41 45 48 50 4 9 14 15 24 27 35 36 47 52 55 4 10 12 18 26 29 40 43 46 47 50 4 11 16 19 22 23 33 38 43 49 55 5 6 13 18 24 25 33 41 46 49 52 5 7 12 13 21 38 44 45 47 55 56 5 8 18 19 23 28 30 35 37 47 54 5 9 16 20 22 26 30 32 45 50 52 5 10 17 20 23 24 29 34 42 51 55 5 11 12 19 27 31 32 36 46 48 51 6 7 17 18 22 27 30 31 40 53 55 6 8 12 14 22 34 35 44 49 50 51 6 9 13 16 27 28 29 37 43 51 56 6 10 15 19 21 25 32 37 39 50 55 6 11 16 17 21 26 34 36 41 47 54 7 8 15 20 26 27 33 34 37 38 46 7 9 12 15 23 29 32 41 49 53 54 7 10 13 20 22 25 35 36 43 48 54 7 11 14 18 24 28 32 34 39 43 45 8 9 19 20 21 24 31 40 41 43 44 8 10 12 16 24 30 33 36 39 53 56 8 11 15 18 21 22 29 42 48 52 56 9 10 14 17 21 28 30 38 46 48 49 9 11 12 17 25 33 35 37 40 42 45 10 11 13 14 23 26 31 37 44 52 53
- Lösung 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 34 35 40 41 42 43 48 51 2 4 14 24 26 29 45 46 48 52 53 2 5 13 23 25 29 43 49 50 54 55 2 6 17 21 28 34 37 39 44 50 52 2 7 18 22 28 30 32 40 46 47 54 2 8 15 22 27 31 33 41 44 49 53 2 9 16 21 27 35 36 38 45 47 55 2 10 20 23 24 32 33 38 39 42 56 2 11 19 25 26 30 31 36 37 51 56 3 4 18 20 25 31 38 40 44 45 50 3 5 17 20 26 33 34 36 46 47 49 3 6 14 19 23 31 35 39 47 53 54 3 7 13 19 24 32 36 41 44 52 55 3 8 13 15 21 37 38 46 48 54 56 3 9 14 16 22 30 33 43 50 52 56 3 10 17 18 27 29 30 37 42 53 55 3 11 15 16 28 29 32 39 45 49 51 4 5 13 14 27 28 42 44 47 51 56 4 6 16 20 26 27 32 37 41 43 54 4 7 12 18 21 36 39 43 49 53 56 4 8 16 19 22 25 34 39 42 46 55 4 9 17 19 23 28 30 38 41 48 49 4 10 15 17 22 24 35 36 50 51 54 4 11 12 15 23 33 37 40 47 52 55 5 6 12 17 22 31 32 45 48 55 56 5 7 15 20 25 27 30 35 39 48 52 5 8 18 19 24 28 33 35 37 43 45 5 9 15 19 21 26 32 40 42 50 53 5 10 16 18 21 23 31 41 46 51 52 5 11 12 16 24 30 34 38 44 53 54 6 7 12 19 27 29 33 38 46 50 51 6 8 14 20 21 24 30 40 49 51 55 6 9 15 18 24 25 29 34 41 47 56 6 10 13 16 25 28 33 36 40 48 53 6 11 13 18 22 26 35 38 42 49 52 7 8 16 17 23 26 29 35 40 44 56 7 9 13 20 22 23 34 37 45 51 53 7 10 14 15 26 28 31 34 38 43 55 7 11 14 17 21 25 33 41 42 45 54 8 9 12 20 28 29 31 36 42 52 54 8 10 12 13 26 30 39 41 45 47 50 8 11 14 18 23 27 32 34 36 48 50 9 10 12 14 25 32 35 37 44 46 49 9 11 13 17 24 27 31 39 40 43 46 10 11 19 20 21 22 29 43 44 47 48
- Lösung 4
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- Lösung 5
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Inzidenzmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . O . . . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . 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- Lösung 2
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- Lösung 3
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- Lösung 5
O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . O O . . . . . . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . O . . . O . . O . . . O O . . . . . . . . O . . O . . . . . . . O . O . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . O O . . O . . . O . O . . . . . . . O . . . . O . . . . . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . . O . O . . . O . . . O . . O O . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . . . O O . . . . . O . O . . O . . . . . . . . . . . . O . O . . O . . O . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . O . . . . . O . O . . O . . . . . . . . . . O . . . . O . . O O . . . . O . . . . . . . . . . O . . . . . . . O O . . . O . . . . O . . O . . . . . . . . . . . O . O . . O . O . . . O . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . O O . . O . . O . . . O O . . O . . . . 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Oval[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 12 29 46 49 51
- Lösung 2
2 4 14 23 28 29
- Lösung 3
1 4 19 37 44 53
- Lösung 4
1 3 31 40 44 53
- Lösung 5
1 12 24 28 41 50
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ Petteri Kaski, Patric R. J. Östergård: There are exactly five biplanes with k = 11. In: Journal of Combinatorial Designs. Bd. 16, Nr. 2, 2008, S. 117–127, doi:10.1002/jcd.20145.
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.