Banachlimes

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In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum \ell^\infty.

Definition[Bearbeiten]

Im Folgenden bezeichne T den Linksshift

T(x_n)_{n\in\N} = (x_{n+1})_{n\in\N}

und e = (1, 1, 1, \ldots) die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional \ell\colon\ell^\infty\to\R, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

  • \ell(e) = 1,
  • für alle x \in \ell^\infty gilt
    • \ell(x) = \ell(Tx),
    • falls x_n \ge 0 für alle n \in \N, so ist auch \ell(x) \ge 0.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass \ell den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen c definiert ist, nach \ell^\infty fortsetzt:

\ell(x) = \lim_{n\to\infty} x_n für x\in c

Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

x = (1, 0, 1, 0, \ldots)

Aufgrund der Linearität von \ell und der Invarianz unter T ist der Banachgrenzwert von x gleich 0{,}5.

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus (\ell^\infty)', das nicht von der Gestalt

x \mapsto \sum_{n=1}^\infty c_n x_n, \quad c \in c_0

ist.

Literatur[Bearbeiten]