Benutzer:Binse/Baustelle-6

Bearbeitung Neutrinooszillationen

Die drei Neutrinoarten $\nu _{e},\nu _{\mu },\nu _{\tau }$ sind Zustände eines Teilchens, die Eigenzustände einer Variablen ‚Flavour‘, deren Eigenwerte $f_{1},f_{2},f_{3}$ den drei Leptonenflavours Elektron, Myon und Tauon entsprechen. Ohne seine Masse zu verändern, was der Energieerhaltung widersprechen würde, ändern sich periodisch die Wahrscheinlichkeiten, dass das Teilchen bei einer Wechselwirkung einen der drei Flavours zeigt.

Der Mechanismus

Abgesehen von den Bewegungsgleichungen wird das Neutrino beschrieben durch die Variablen F=Flavour und M=Masse, die beide in einem 3-dimensionalen Phasenraum dargestellt werden. Das heißt, die Zustände des Neutrinos sind die Einheitsvektor dieses Hilbertraumes H, und die Eigenzustände von Flavour und Masse bilden je ein Orthonormalsystem in H. Die drei Eigenzustände von F sind $\nu _{e},\,\nu _{\mu },\,\nu _{\tau }$. Die Masse-Variable hat drei verschiedene Eigenwerte $M_{1},M_{2},M_{3}$ und ihre Eigenzustände $m_{1},\,m_{2},\,m_{3}$ sind verschieden von den Flavour-Eigenzuständen. Jeder Zustand $z$ des Neutrinos ist nun einerseits eine Überlagerung der Masse-Eigenzustände und anderseits eine Überlagerung der Flavour-Eigenzustände:

$z\,=\,c_{1}e^{i\phi _{1}}m_{1}+c_{2}e^{i\phi _{2}}m_{2}+c_{3}e^{i\phi _{3}}m_{3}\,=\,d_{1}e^{i\psi _{1}}\nu _{e}+d_{2}e^{i\psi _{2}}\nu _{\mu }+d_{3}e^{i\psi _{3}}\nu _{\tau }$ .

Dabei sind $c_{j}\geq 0,\,d_{j}\geq 0$ mit $\sum _{j}c_{j}^{2}=1,\,\sum _{j}d_{j}^{2}=1$ und $d_{j}^{2}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Wechselwirkung das Teilchen mit dem betreffenden Flavour reagiert.

Die Beträge $c_{j}$ der Koeffizienten sind konstant. Dagegen variieren die Phasen $\phi _{j}$${\displaystyle }$ mit der Zeit $t$ (der Eigenzeit des Teilchens) gemäß Einsteins Formel $E=hf$ ($h$ das Plancksche Wirkungsquantum, $f$ die Frequenz). Da hier jeweils $E=M_{j}c^{2}$ einzusetzen ist, unterscheiden sich die Frequenzen: $\phi _{j}=M_{j}h^{-1}c^{2}t$ . Obwohl die Phasen keine Observabeln sind, hat das beobachtbare Konsequenzen.

Die Umrechnung von Masse- zum Flavour-Koordinaten leistet eine unitäre Matrix $A=(a_{jk}),\;a_{jk}\;$ komplex, $A^{\ast }A=1$ :

$d_{j}e^{i\psi _{j}}\,=\,\sum _{k}a_{jk}c_{k}e^{i\phi _{k}}$ .

Mit der Abkürzung $M_{j}'=h^{-1}c^{2}M_{j}$ gibt das z.B. für die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen als $\nu _{e}$ reagiert

$d_{1}^{2}\,=\,|a_{11}c_{1}e^{iM_{1}'t}+a_{12}c_{2}e^{iM_{2}'t}+a_{13}c_{3}e^{iM_{3}'t}|^{2}$

$=\,|a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}e^{i(M_{2}'-M_{1}')t}+a_{13}c_{3}e^{i(M_{3}'-M_{1}')t}|^{2}$ .

Der Ausdruck enthält Terme, die mit Frequenzen $M_{2}'-M_{1}',\,M_{3}'-M_{1}'$ schwingen: Schwebungen zwischen den Frequenzen der Masse-Eigenzuständen. Analog für $d_{2}^{2},\,d_{3}^{2}$ . Das sind die Neutrino-Oszillationen.

${\displaystyle }$