Benutzer:Gerhardvalentin/m/w

Wahrscheinlichkeiten

Ein Auto und zwei Ziegen befinden sich hinter drei Toren, und der Kandidat wählt zuerst eines der drei Tore aus.

Hat er beispielsweise Tor 1 gewählt, gibt es drei Fälle mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Tabelle 1

Tor 1	Tor 2	Tor 3	Ergebnis bei Torwechsel
Auto	Ziege	Ziege	Ziege
Ziege	Auto	Ziege	Auto
Ziege	Ziege	Auto	Auto

Ein Kandidat der das Tor wechselt, erhält nur in einem dieser drei Fälle die Ziege, jedoch erhält er in zwei Fällen das Auto.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Torwechsel das Auto zu erhalten 2/3.
Mit anderen Worten: Die "Chance", zu Beginn "falsch" gewählt zu haben ist 2/3, folglich beträgt die Chance, bei einem Torwechsel richtig zu liegen 2/3.

Krauss & Wang haben die psychologischen Bedingungen untersucht, die bei der bekanntermaßen häufigen Fehleinschätzung der Situation eine Rolle spielen könnten.
Sie weisen darauf hin, dass – falls der Moderator anschließend Tor 3 geöffnet hat und damit Zeile 3 (Auto hinter Tor 3) ausfällt – man nicht dem Fehlschluss unterliegen dürfe, die noch übrig gebliebenen Zeilen 1 und 2 schlicht "1:1" zu setzen und irrtümlicherweise eine Gewinnchance bei Torwechsel von 1/2 zu vermuten. Sondern man müsse die Bedingung beachten, dass nach dem Öffnen von Tor 3 und dem Wegfall von Zeile 3 sodann Zeile 2 in jedem Fall zutrifft, Zeile 1 jedoch nur in der Hälfte der Fälle: Auch nach dem Öffnen eines Tors beträgt die Gewinnchance bei Torwechsel weiterhin 2/3.

Tabelle 2

Für manche Leser sprechen Zahlen deutlicher als Worte. Die folgende Tabelle sollte selbsterklärend sein.

(Der Kandidat hat Tor #1 gewählt)	Moderator öffnete Tor:
Ursprüngliche Anordnung (Wahrscheinlichkeit)	Offen Tor 1 (Wahrscheinlichkeit)	Offen Tor 2 (Wahrscheinlichkeit)	Offen Tor 3 (Wahrscheinlichkeit)	gewichtete Wahrscheinlichkeit	Gewinn bei Beharren	Gewinn bei Torwechsel
Auto Ziege Ziege (1/3)	Nein	Ja (1/2)	Nein	1/3 x 1/2	Ja (1/6)	Nein
	Nein	Nein	Ja (1/2)	1/3 x 1/2	Ja (1/6)	Nein
Ziege Auto Ziege (1/3)	Nein	Nein	Ja (1)	1/3 x 1	Nein	Ja (1/3)
Ziege Ziege Auto (1/3)	Nein	Ja (1)	Nein	1/3 x 1	Nein	Ja (1/3)

Hat der Kandidat das Auto gewählt, so besteht für den Moderator eine Wahlmöglichkeit.
Hat der Kandidat eine der beiden Ziegen gewählt, besitzt der Moderator keine Wahlmöglichkeit.

Man erkennt, dass ein Kandidat bei Torwechsel in 2/3 der Fälle gewinnt. Man erkennt ebenso, dass der Moderator Tor 3 in 1/2 = 1/6+1/3 der Fälle (Zeile 2 plus Zeile 3) öffnen wird.

Gerhardvalentin 12:46, 16. Jun. 2011 (CEST)