Benutzer:Hijacker/Mathearbeit

Hier sammle ich prägnante, kurze Informationen, zum Lernen für meine morgige Mathearbeit.

D Definitionsbereich:

Wie weit geht Gleichung auf x-Achse?

W Wertebereich:

Wie hoch geht Gleichung auf y-Achse?

Lineare Funktionen

Normalform Lineare Funktion

y = mx +b, oder

$y={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot x+b$

m = Steigung b = Verschiebungskonstante (y-Achsen Höhe)

Steigung bei Geraden (2 Punkte):

$m={\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}$

Steigung anhand des Steigungsdreieicks

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Distanz von P zu Ursprung/zu Q

d² = x² + y²

Ursprung

Bsp.: P(3/4)

d² = 3² + 4² = 25

d = 5 (Wurzel d²!)

Zu anderem Punkt (Q)

Für $P(x_{1}/y_{1}),Q(x_{2}/y_{2})$ gilt:

$d^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

Bsp.:P(3/4), Q(1/2)

d² = (1-3)² + (2-4)²

d² = (-2)² + (-2)²

d² = 8

Schnitt von Geraden

1. Beide Gleichungen gleichsetzen: f(x) = g(x)
2. x auf eine Seite bringen
3. x isolieren
4. x in eine der Gleichungen einsetzen
5. y berechnen

Bsp.:

$f(x)={\frac {1}{2}}x-3$, $g(x)=-x+3$

Gleichsetzen:

${\frac {1}{2}}x-3=-x+3\qquad |-3$

x isolieren:

${\frac {1}{2}}x-6=-x\qquad |-{\frac {1}{2}}x$

$-6=-{\frac {3}{2}}x\qquad |\cdot (-{\frac {2}{3}})$

$4=x$

x einsetzen und y berechnen:

$y=-4+3$

$y=-1$

$\mathbb {L} ={(4/-1)}$

Geraden Parallel setzen

Es muss nur b verändert werden.

Bsp.:

Gegeben: y = 2x + 3

Gesucht: Parallele durch P(3/5)

Steigung m=2 gleich, da Parallel.

Punkt P in obige Gleichung einsetzen:

5 = 2 * 3 + b

b = -1

Funktionsgleichung der parallelen Geraden: y = 2x -1

Geraden senkrecht zueinander

Selber Funktionsterm.

Steigung m muss zum negativen Kehrwert umgewandelt werden (glaube ich).

$m_{1}\cdot m_{2}$ muss -1 ergeben.

Mittelpunkt einer Geraden

$x_{m}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}$

Länge einer Geraden

$\left|{\overline {ABC}}\right|={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$

Quadratische Funktionen

Normalform Quadratische Funktion

y = ax² + bx + c

Parameter a

Stauchen/drücken/spiegeln

• a > 0 ... der Graph ist nach oben geöffnet. (1;2;3;4...)
• a < 0 ... der Graph ist nach unten geöffnetnet. (-1;-2;-3;-4...)
• | a | > 1 ... der Graph ist gestreckt, d.h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint. (1;2;3;4...)
• | a | < 1 ... der Graph ist gestaucht, d.h. in zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint. (0,1;0,2;0,3;0,4...)
• Für a = - 1 ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

Parameter b

Seitliche Verschiebung des Graphen (x-Achse).

f(x) = (x − 1)2 = x² − 2x + 1

(!) f(x) = x2 + 1x und f(x) = x2 + 2x verschieben gleichzeitig um 1 nach unten.

Parameter c

Höhen Verschiebung des Graphen (y-Achse).

• c um 1 erhöht: Graph um 1 Einheit nach oben
• c um 1 verringert: Graph um 1 Einheit nach unten

Beispiele

f(x) = x²             | 4 nach oben

g(x) = x² + 4         | 2 nach rechts

h(x) = (x-2)² + 4     | Streckung um 2 entlang y-Achse

i(x) = 2*[(x-2)² + 4]

     = 2*(x-2)² + 8   | Spiegeln an x-Achse

j(x) = -1*[2(x-2)² + 8]

     = -2*(x-2)²-8

Schnittpunkt mit y-Achse

x = 0

f(0) = ... -14 => P(0/-14)

Nullstellen

Lösen mit pq-Formel

Normalform (OHNE ax²): y = x² + bx + c

$x_{1,2}=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}}$

WENN ax² vorhanden, z.B. y = 3x² + 9x + 30, dann y gleich Null stellen und Formel durch 3 teilen:

0 = 3x² + 3x + 30 | :3

0 = x² + 3x + 10

D > 0, dann 2 Nullstellen

D = 0, dann eine Nullstelle,

D < 0, dann keine Nullstellen.

a, b, c mit Additions/Subtraktions Verfahren

1. Alle gegebenen Punkte in Funktion einsetzen.
2. Additions- Subtraktions Verfahren Anwenden (ggf. z.B. I-II und III-II und im 2. Schritt I'+II')
3. Ergebnis: Entweder a, b, oder c.
4. Variable in letzte Stufe einsetzen, 2. Variable errechnen.
5. Beide Variablen in 1. Stufe einsetzen, 3. Variable errechnen.

Beispiel

P1(-2/12) P2(1/3) P3(3/7)

y = ax² + bx + c

${\begin{vmatrix}4a-2b+c=12\\a+b+c=3\\9a+3b+c=7\end{vmatrix}}$

${\begin{matrix}I-II=\\III-II=\end{matrix}}{\begin{vmatrix}3a-3b=9\\8a+2b=4\end{vmatrix}}{\begin{matrix}\cdot 2\\\cdot 3\end{matrix}}$

${\begin{matrix}I'\\II'\end{matrix}}{\begin{vmatrix}6a-6b=18\\24a+6b=12\end{vmatrix}}$

I' + II' = 30a = 30

a = 1

2. Stufe:

6 * 1 - 6b = 18 | -6

-6b = 12 | :(-6)

b = -2

1. Stufe:

1 + (-2) + c = 3

-1 + c = 3 | -3

-4 + c = 0 | -c

-4 = -c | *(-1)

4 = c

Scheitel(form)

Scheitelform: $f(x)=a\cdot \left(x-x_{s}\right)^{2}+y_{s}$

Scheitel auf $S(x_{s}/y_{s})$

Schneller/Einfacher:

$S=(-{\frac {b}{2\cdot a}}|c-{\frac {b^{2}}{4\cdot a}})$

Beispiel:

f(x) = 2 x ² + 4x + 5

$S(-{\frac {4}{4}}|5-{\frac {16}{8}})$

Kurz: S(-1|3)