Die Gruppe
operiert auf der oberen Halbebene
durch
wobei
Für festes
ist die Abbildung
ein Diffeomorphismus. Damit operiert
auch auf
durch
.
Der hyperbolische Laplace Operator auf
wird definiert durch
,
Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe
ist eine glatte Funktion
auf
so dass
für ein
es existiert ein
mit
für
Gilt außerdem
dann nennen wir
Maaß-Spitzenform.
Sei nun
eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen
. Damit hat
eine Fourier-Entwicklung der Gestalt
, wobei die Koeffizientenfunktionen glatt sind.
Wir beobachten außerdem :
ist eine Maaß-Spitzenform genau dann wenn
, denn
(*)
wobei in (*) benutzt wurde, dass die Reihe
für festes
lokal gleichmäßig konvergiert.
Definition: Die K-Besselfunktion ist für
definiert durch
.
Das Integral konvergiert für
lokal gleichmäßig in
und es gilt die Abschätzung
falls
.
Damit fällt
betragsmäßig exponentiell für
. Außerdem gilt
für alle
,
. Für einen Beweis siehe zum Beispiel Deitmar, Automorphe Formen S.55.
Sei
der Eigenwert der Maaßschen Wellenform f bezüglich
. Sei
die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit
. Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von
falls
. Ist
so gilt
mit
.
Beweis : Es gilt
. Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für
Zusammen folgt für
In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der n-te Fourierkoeffizient von
genau
ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da f beliebig oft stetig differenzierbar nach y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
Für
kann man zeigen, dass für jede Lösung
dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten
existieren so dass gilt
.
Für
ist jede Lösung
der obigen Differentialgleichung von der Form
für eindeutige
, wobei
die K-Besselfunktion und
die I-Besselfunktionen ist (Siehe dazu zum Beispiel O.Forster : Analysis 2).
Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von
(also
) für ein eindeutiges
Sei
. Dann operiert i auf allen Funktionen
der oberen Halbebene
via
. Man rechnet leicht nach, dass
mit i vertauscht. Wir nennen eine Maaßsche Wellenform
gerade, wenn
und ungerade wenn
. Ist f eine Maaßsche Wellenform, so ist insbesondere damit
eine gerade Maaßsche Wellenform und
eine ungerade Maaßsche Wellenform und es gilt
.
Sei
eine Maaß-Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von
als
.
Dann konvergiert die Reihe
für
und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf
fortsetzen.
Ist f gerade oder ungerade so definiert man
wobei
falls
gerade und
falls
ungerade ist. Dann erfüllt
die Funktionalgleichung
.
Beweis:
Sei f eine Maaß-Spitzenform.
Zuerst machen wir uns klar wie schnell die Fourierkoeffizienten von f wachsen.
Behauptung: Es gilt
Beweis: Da f eine Maas-Spitzenform ist, existieren
so dass für
die Ungleichung
gilt. Ist
, und ist
konjugiert zu
modulo
so rechnet man leicht nach, dass
gilt. Da f invariant unter
ist, gilt für
:
. Also gilt für
die Abschätzung
.
Für
und
gilt damit
.
Damit finden wir eine Konstante
so dass für jedes
gilt
.
Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und f ist eine Maas-Spitzenform. Zusammen folgt, dass f auf dem Fundamentalbereich von
beschränkt beschränkt ist und damit auf
. Damit können wir den obigen Beweis mit
wiederholen und erhalten
für ein
also
.
Um den Satz zu beweisen brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von
.
Behauptung: Für
konvergiert das Integral
absolut und es gilt
.
Beweis: Nach Definition gilt
Wir wenden nun die Transformationsformel auf den Diffeomorphismus
an. Wir erhalten
und
. Das Jacobi-Matrix ergibt sich als
mit Determinante
. Benutzt man nun die Transformationsformel vereinfacht sich obiges Integral zu
und dieses konvergiert absolut für
.
Nun zum Beweis des Satzes. Ist f gerade oder ungerade folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten
für alle
. Sei f zuerst gerade. Dann gilt
Das vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für
gilt :
.
Ebenso zeigt man dass
für
exponentiell fällt.
Wir definieren nun
,
.
Damit gilt
. Da
exponentiell fällt für
konvergiert
für jedes
und damit ist
eine ganze Funktion (Komplexe Analysis). Nun ist
aber invariant unter
womit insbesondere
folgt.
Wir erhalten nun
.
Damit ist auch
eine ganze Funktion und damit ist
ganz. Insbesondere kann man damit
zu einer ganzen Funktion auf
fortsetzen.
Weiterhin gilt für
die Funktionalgleichung
.
Wenn f ungerade ist, definiert man
.
Dann rechnet man analog zu oben
indem man wieder benutzt, dass die K-Besselfunktion exponential fällt. Wir definieren wieder
,
.
Auch
fällt exponentiell für
. Damit ist auch
wieder eine ganze Funktion. Man rechnet leicht nach, dass gilt
. Damit folgt mit einer analogen Rechnung
. Damit ist
auch im ungeraden Fall ganz und der Satz ist bewiesen.
.
Lemma: Die Reihe
konvergiert absolut in
, wenn
. Genauer konvergiert die Summe gleichmäßig auf jeder Menge
, für jedes Kompaktum
und jedes
.
Beweis siehe Anton Deitmar, Automorphe Formen Lemma 1.2.1.
Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe wird für
und
definiert durch
wobei
die Gammafunktion ist.
Nach obigen Lemma konvergiert die Reihe absolut in
für
und lokal gleichmäßig in
. Damit ist E als Limes stetiger Funktionen stetig in
.
Für festes
ist
sogar holomorph in
, da nach Weierstraß der lokalgleichmäßige Limes holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.
Lemma: Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe
ist für
glatt in
.
Beweis: siehe Anton Deitmar, Automorphe Formen Lemma 2.7.3.
Um zu zeigen, dass E tatsächlich invariant in
unter der Operation von
ist, brauchen wir noch folgendes Lemma.
Lemma: Sei
Dann ist die Abbildung
eine Bijektion.
Beweis : siehe Deitmar, Automorphe Formen Lemma 2.7.4.
Nun zur
-Invarianz von
:
Proposition:
(a) Sei .
. Dann konvergiert
absolut in
für
und es gilt
.
(b) Es gilt
für jedes
.
Beweis:
zu (a): Für
gilt
. Damit folgt mit obigem Lemma
Damit folgt die absolute Konvergenz in
für
wieder mit dem ersten Lemma.
Des Weiteren folgt
,
denn die Abbildung
ist eine Bijektion.
Damit folgt (a).
zu (b): Für
gilt
.
Nach (a) ist damit auch
invariant unter
.
Damit gilt insbesondere
, also hat E eine Fourier-Entwicklung.
Satz zur Fourier-Entwicklung von
:
Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe besitzt eine Fourier-Enwticklung
wobei die Fourierkoeffizienten gegeben sind durch
.
Für
hat E(z,s) eine meromorphe Forsetzung in s auf ganz
. Diese ist holomorph bis auf einfache Pole in
.
Die Eisenstein-Reihe erfüllt für jedes
die Funktionalgleichung
und es gilt lokal gleichmäßig in
die Wachstumsbedingung
wobei
.
Beweis: siehe Deitmar, Automorphe Formen Satz 2.7.7.
Um zeigen zu können, dass E eine Maaßsche Wellenform ist, fehlt uns noch eine Eigenschaft des hyperbolischen Laplace Operators
.
Lemma:
vertauscht mit der Operation von
auf
. Genauer gilt für jedes
Beweis: Die Gruppe
wird erzeugt von den Elementen der Form
mit
,
mit
und
. Man rechnet die Behauptung auf diesen Erzeugern nach und erhält somit die Behauptung für jedes
.
Damit können wir nun zeigen, dass E eine Maaßsche Wellenform ist.
Beweis: E ist invariant unter
und wächst polynomial für
(siehe oben). Wir müssen also nur noch die Eigenwertgleichung bezüglich
zeigen. Wegen
(vergleiche oben) reicht es die Eigengleichung für
zu zeigen. Es gilt
da die Reihen
für
alle lokal gleichmäßig konvergieren und wir deswegen die Reihenfolge von Differentiation und Summe vertauschen dürfen. Außerdem gilt
.
Da der Laplace Operator mit der Operation von
vertauscht, folgt für jedes
und damit
.
Damit gilt für
die Eigengleichung auch für
. Um die Behauptung für jedes
zu erhalten, betrachte die
Funktion
. Man schreibt diese Funktion mit Hilfe der Fourier-Entwicklung von
explizit aus und erkennt, dass sie meromorph ist. Nun verschwindet sie aber für
, damit ist sie nach dem Identitätssatz identisch Null und die Eigengleichung gilt für jedes
.
Definition: Für beliebiges
sei
der Operator auf
definiert durch
.
Dann gilt offensichtlich
, wobei
der hyperbolische Laplace Operator ist.
Eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht
zur Gruppe
ist eine glatte Funktion
auf
so dass
für ein
es existiert ein
mit
für
.
Wir geben nun ein erstes Beispiel einer Maaßschen Wellenform vom Gewicht k>1
Proposition : Sei
eine Modulform vom Gewicht
zur Gruppe
. Dann ist
eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht k zur Gruppe
.
Beweis: Da g eine Modulform ist, ist g holomorph, also insbesondere glatt in
. Damit ist
glatt. Sei nun
. Dann gilt
.
Da g eine Modulform ist, ist g insbesondere holomorph in
, d.h
für
. Damit existiert aber ein
so dass f(z):=
für
.
Wir zeigen nun noch die Eigengleichung für
. Da g holomorph ist gelten die Riemannschen Differentialgleichungen, also
und damit folgt mit dem Satz von Schwarz
. Es gilt dann
Damit ist f eine Maaßsche Form vom Gewicht k zur Gruppe
.
Man definiert zudem sogenannte Maaßsche Differentialoperatoren auf
durch
und
für
beliebig.
Dann gilt für jedes
.