Ausgehend von:
log
a
p
+
log
a
q
=
log
a
(
p
⋅
q
)
{\displaystyle \log _{a}p+\log _{a}q=\log _{a}(p\cdot q)}
x
:=
log
a
p
↔
p
=
a
x
{\displaystyle x:=\log _{a}p\leftrightarrow p=a^{x}}
y
:=
log
a
q
↔
q
=
a
y
{\displaystyle y:=\log _{a}q\leftrightarrow q=a^{y}}
x
+
y
=
log
a
(
a
x
⋅
a
y
)
{\displaystyle x+y=\log _{a}\left(a^{x}\cdot a^{y}\right)}
Die die Addition (Operation 1. Stufe) mithilfe der Multiplikation (Operation 2. Stufe) "erklären" kann, lässt sich eine Operation „0. Stufe“ wie folgt definieren:
x
⊞
y
:=
log
a
(
a
x
+
a
y
)
{\displaystyle x\boxplus y:=\log _{a}\left(a^{x}+a^{y}\right)}
Es zeigt sich, dass
⊞
{\displaystyle \boxplus }
Beispiel: Sei x =3 und y =5.
Mit a =e:
ln
(
e
3
+
e
5
)
≈
5,126
928
{\displaystyle \ln(\mathrm {e} ^{3}+\mathrm {e} ^{5})\approx 5{,}126928}
Mit a =10:
lg
(
10
3
+
10
5
)
≈
5,004
32137
{\displaystyle \lg(10^{3}+10^{5})\approx 5{,}00432137}
Es muss die Operation
⊞
{\displaystyle \boxplus }
x
⊞
a
y
:=
log
a
(
a
x
+
a
y
)
{\displaystyle x\boxplus _{a}y:=\log _{a}\left(a^{x}+a^{y}\right)}
x
⊞
y
:=
ln
(
e
x
+
e
y
)
{\displaystyle x\boxplus y:=\ln \left(\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{y}\right)}
Ausgehend von:
log
a
(
x
⋅
y
)
=
log
a
x
+
log
a
y
{\displaystyle \log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}x+\log _{a}y}
x
⋅
y
=
a
log
a
x
+
log
a
y
{\displaystyle x\cdot y=a^{\log _{a}x+\log _{a}y}}
Die Multiplikation wird hier mit der Addition von Logarithmen definiert. Wenn man Logarithmen multipliziert, bekommt man eine neue „Operation 3. Stufe“:
x
◯
a
3
y
=
a
log
a
x
⋅
log
a
y
{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{3}y=a^{\log _{a}x\cdot \log _{a}y}}
Beispiel
13
◯
3
15
=
e
ln
13
⋅
ln
15
=
1039
{\displaystyle 13\bigcirc ^{3}15=\mathrm {e} ^{\ln 13\cdot \ln 15}=1039}
Das kann man weitertreiben zu einer „Operation n -ter Stufe“ jeweils durch eine Operation
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
x
◯
a
n
y
:=
a
log
a
x
◯
a
n
−
1
log
a
y
{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{n}y:=a^{\log _{a}x\ \bigcirc _{a}^{n-1}\ \log _{a}y}}
Mit
x
◯
a
2
y
:=
x
⋅
y
{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{2}y:=x\cdot y}
x
◯
a
1
y
:=
x
+
y
{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{1}y:=x+y}
x
◯
a
0
y
:=
x
⊞
a
y
{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{0}y:=x\boxplus _{a}y}
Allgemeiner:
x
◯
a
n
y
:=
log
a
(
a
x
◯
a
n
+
1
a
y
)
{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{n}y:=\log _{a}\left(a^{x}\bigcirc _{a}^{n+1}a^{y}\right)}
