Benutzer:Sigbert/Zwischenlager

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Quantile

Bei verschiedenen statistischen Verfahren (z.B. den Quantile-Quantile-Plot) besteht die Notwendigkeit jeder Beobachtung $x_{i}$ ein empirisches Unterschreitungsanteil ${\hat {p}}_{i}$ zuzuordnen. Dies geschieht mit dem Rang $R(x_{i})$ einer Beobachtung:

Zuordnung eines Unterschreitungsanteils ${\hat {p}}_{i}$ zu den Beobachtungen eines Datensatzes mit n=5, 10 und 30 Beobachtungen.

Methode	Formel für ${\hat {p}}_{i}$
Van der Waerden	${\frac {R(x_{i})}{n+1}}$
Tukey	${\frac {R(x_{i})-1/3}{n+1/3}}$
Blom	${\frac {R(x_{i})-3/8}{n+1/4}}$
Rankit	${\frac {R(x_{i})-1/2}{n}}$

Die verschiedenen Verfahren unterscheiden sich nur dadurch welchen Abstand der Unterschreitungsanteil der kleinsten Beobachtung von Null bzw. der Unterschreitungsanteil der größten Beobachtung von Eins hat. Zwischen zwei aufeinanderfolgende Beobachtungen sind die Unterschreitungsanteilabstände immer gleich. Die vier Verfahren liefern auch immer ähnlichere Unterschreitungsanteile je größer n ist.

Hypothesen

Ist $r$ die Zahl der angenommen Ausreißer, dann können folgend Hypothesenpaare aufgestellt werden:

• $H_{0}^{min}:$ Die $r$ kleinsten Werte sind keine Ausreißer vs. $H_{1}^{min}:$ Die $r$ kleinsten Werte sind Ausreißer bzw.

• $H_{0}^{max}:$ Die $r$ größten Werte sind keine Ausreißer vs. $H_{1}^{max}:$ Die $r$ größten Werte sind Ausreißer

Teststatistik

Wenn $x_{(1)}\leq \ldots \leq x_{(n)}$ eine einfache Zufallsstichprobe mit Stichprobenumfang $n$ ist und $k$ die größte ganze Zahl kleiner als $r+{\sqrt {2n}}$, dann wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn für $A>0$ die Teststatistik

• $X_{min}=X_{r}+(1+A)X_{r+1}+AX_{k}<0$ (für $H_{0}^{min}$) bzw.
• $X_{max}=X_{n-r+1}+(1+A)X_{n-r}+AX_{n-k+1}>0$ (für $H_{0}^{min}$).

Gilt $E(X_{\bullet })\approx {\frac {1}{\alpha }}{\sqrt {Var(X_{\bullet })}}$ dann folgt

<math>P(X_{min}<0)