Clairautsche Differentialgleichung

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Die clairautsche Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form


y(x)=x\cdot y'(x) + f(y'(x))

und ist somit ein Spezialfall der d'Alembertschen Differentialgleichung. Sie ist nach dem französischen Mathematiker Alexis-Claude Clairaut benannt.

Bestimmung von einigen Lösungen[Bearbeiten]

Es gibt zwei Haupttypen von Lösungen der clairautschen Differentialgleichung, die im Folgenden beschrieben werden. Dabei handelt es sich allerdings im Allgemeinen nicht um sämtliche Lösungen dieser Differentialgleichung. Sind nämlich y_1, y_2 zwei unterschiedliche Lösungen mit y_1(x_0) = y_2(x_0) und y_1'(x_0) = y_2'(x_0), so ist die Funktion

y(x) := \left\{\begin{array}{ll}y_1(x)\ ,&x \leq x_0\ ,\\y_2(x)\ ,&x > x_0\ ,\\\end{array}\right.

ebenfalls eine weitere Lösung, die in keine der beiden folgenden Lösungsklassen hineinfällt.

Triviale Geradenlösungen[Bearbeiten]

Für jedes c im Definitionsbereich von f sind die Geraden

\ y(x) := cx + f(c)

Lösungen der clairautschen Differentialgleichung.

Nichttriviale Lösungen[Bearbeiten]

Sei f differenzierbar sowie c eine differenzierbare Funktion, welche der impliziten Gleichung

f\;'(c(x)) + x = 0

genügt. Dann ist

\ y(x) := xc(x) + f(c(x))

eine Lösung der clairautschen Differentialgleichung.

Beweis[Bearbeiten]

Für die Geraden gilt y'(x) \equiv c, also

xy'(x) + f(y'(x)) = cx + f(c) = y(x)\ .

Im Fall der nichttrivialen Lösungen gilt

\begin{array}{lll}
xy'(x) + f(y'(x))&=&x[xc'(x) + c(x) + f'(c(x))c'(x)] + f(xc'(x) + c(x) + f'(c(x))c'(x))\\
&=&xc(x) + f(c(x)) = y(x)\ .\\\end{array}
\Box

Zusammenhang zwischen beiden Lösungstypen[Bearbeiten]

Die Tangenten der nichttrivialen Lösungen sind triviale Geradenlösungen.

Beweis[Bearbeiten]

Die Tangente T der nichttrivialen Lösung y(x) = xc(x) + f(c(x)) durch den Punkt (x_0\ |\ y(x_0))ist gegeben durch die Gleichung

\begin{array}{lll}
T(x)&=&y'(x_0)(x-x_0) + y(x_0)\\
&=&[x_0c'(x_0) + c(x_0) + f'(c(x_0))c'(x_0)](x-x_0) + [x_0c(x_0) + f(c(x_0))]\\
&=&c(x_0)(x-x_0) + c(x_0)x_0 + f(c(x_0)) = c(x_0)x + f(c(x_0))\ .\\
\end{array}
\Box

Wenn die nichttriviale Lösung strikt konvex bzw. strikt konkav ist, so trennt sie die Ebene daher in einen Bereich, in dem durch jeden Punkt zwei Geradenlösungen laufen, und einen Bereich, der frei von Lösungen ist; sie wird dann als Einhüllende bezeichnet. Lösungen sind dann nicht nur die Einhüllende selbst und die Geradenlösungen, sondern auch Lösungskurven, die stückweise auf Geraden und stückweise auf der Einhüllenden verlaufen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage, Springer Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2, § 4.