Diskussion:Atlas (Mathematik)

Ich bin kein Differentialgeometer, aber ich finde die Bezeichnung "x" f"ur eine Karte kommt mir ungew"ohnlich vor... Ich w"urde eher sowas wie Phi nehmen oder so. -- 130.83.2.27 15:27, 2. Mai 2007 (CEST)

Die Bezeichnung $x$ erlaubt es, die einzelnen Koordinatenfunktionen als $x^{i}$ zu bezeichnen, und rechtfertigt es dadurch, die Basisdifferentialformen als $dx^{i}$ und die partiellen Ableitungen nach Koordinatenrichtungen als ${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ zu bezeichnen. Sonst müsste man $d\phi ^{i}$ und ${\frac {\partial }{\partial \phi ^{i}}}$ bezeichnen, was eher unüblich ist (was ich aber in meinem Studium gelernt habe). --Digamma 17:42, 31. Okt. 2007 (CET)

Karte

Hallo, ich wurde beim suchen nach Karte hierhin weitergeleitet. Allerdings findet sich hier keine Erklärung, was eine Karte ist. Nur daß eine Menge von Karten ein Atlas ist. Auch bei den Mannigfaltigkeiten steht nichts. --Xycolon 17:08, 19. Sep. 2007 (CEST)

Hast volltkommen recht. Habe die fehlende Definition ergänzt. --Christian1985 01:52, 17. Okt. 2007 (CEST)

Ein Atlas ist eine Menge von Karten, der eine Mannigfaltigkeit bildet.

Diese Aussage ist falsch. Die Mannigfaltigkeit als solche ist ein topologischer Raum, also eine Menge zusammen mit einer Topologie. (Damit dieser topologische Raum eine Mannigfaltigkeit ist, muss er bestimmte Bedingungen erfüllen, unter anderm muss jeder Punkte eine Umgebung besitzen, die homöomorph zum euklidischen Raum ist. Diese Homöomorphismen sind natürlich Karten. Es ist aber noch nichts über eine Auswahl solcher Karten und über Beziehungen zwischen ihnen gesagt.) Durch einen Atlas definiert man in der Regel eine Zusatzsstruktur, z.B. eine differenzierbare Struktur oder eine komplexe Struktur, durch die die Mannigfaltigkeit zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bzw. zu einer komplexen Mannigfaltigkeit wird. Der Atlas "ist" aber nicht die "Struktur" (diese kann man als maximalen Atlas oder als Äquivalenzklasse von miteinander verträglichen Atlanten definieren) und die "Struktur" ist nicht die Mannigfaltigkeit. (Man identifiziert ja eine Gruppe auch nicht mit ihrer Verknüpfung sondern mit der zugrundeliegenden Menge.)

Der alte und von mir wiederhergestellte Satz ist aber, zugegeben, auch nicht toll formuliert. --Digamma 17:51, 31. Okt. 2007 (CET)

Okey ich sehe ein, dass der Satz falsch war. Wie wäre es mit dem Einleitungssatz: Ein Atlas definiert auf einem topologischen Raum zusätzliche Strukturen, wie zum Beispiel die Differenzierbarkeit oder die Holomorphie, sodass man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit bzw. eine komplexe Mannigfaltigkeit erhält.

Ist ein Atlas wirklich ein mathematischer Raum? --Christian1985 21:41, 31. Okt. 2007 (CET)

Ich habe den Artikel gründlich überarbeitet und erweitert. Den Eingangssatz habe ich abgeändert zu

Ein Atlas ist eine Menge von Karten auf einer Mannigfaltigkeit.

Ich nehme den von Dir vorgeschlagenen Satz noch hinzu.

Aber nein, ein Atlas ist kein mathematischer Raum. Habe ich das irgendwo behauptet? --Digamma 23:51, 31. Okt. 2007 (CET)

Ich habe bei meiner Änderung vorhin, welche du Rückgängig gemacht hast, auch die Kategorie "Mathematischer Raum" rausgenommen, dieser ist ja nun wieder da. Habe mich deshalb gefragt, ob das so beabsichtigt ist. --Christian1985 23:55, 31. Okt. 2007 (CET)

Das war mir nicht aufgefallen. --Digamma 00:41, 1. Nov. 2007 (CET)

euklidisch und unitär vs. reell und komplex

Ich habe Deine Änderung zurückgenommen und auch euklidisch durch reell ersetzt. Begründung: Es kommt nicht auf die Norm des Vektorraums an, nur auf die Vektorraumstruktur und die Topologie. Die ist aber im endlichdimensionalen Fall unabhängig von der Wahl der Norm. Insbesondere braucht man kein komplexes Skalarprodukt.

"Euklidisch" hatte ich geschrieben, weil man aus topologischer Sicht die Topologie des R^n als euklidisch bezeichnet. Z.B. sagt man, dass eine Mannigfaltigkeit lokal-euklidisch sei.--Digamma 00:48, 1. Nov. 2007 (CET)

Maximaler Atlas

Ich denke in diesem Artikel wäre es auch sinnvoll, den Begriff maximaler Atlas zu definieren. Auf der englischen Wikipediaseite wird behauptet, dass man dessen Exisitenz auch ohne die Verwendung von Zorns Lemma zeigen kann, die Referenz und alle mir bekannten Beweise nutzen dies jedoch. Kann das jemand richtig ergänzen? --129.241.128.205 12:26, 11. Mai 2008 (CEST)

Ich habe die Definition ergänzt. Jedoch zum Beweis der Existenz kann ich leider nichts sagen. --Christian1985 23:57, 12. Mai 2008 (CEST)

Topologischer Hausdorff-Raum

In der Definition von Karte ist von einem topologischen Hausdorff-Raum die Rede. Ist aber nicht jeder Hausdorff-Raum topologisch? --Jobu0101 18:39, 9. Dez. 2011 (CET)

Ja jeder Hausdorff-Raum ist ein topologischer Raum. Wegen mir kann man das Adjektiv auch entfernen. --Christian1985 (Diskussion) 18:58, 9. Dez. 2011 (CET)

Okay, habe es getan. --Jobu0101 19:45, 9. Dez. 2011 (CET)

"Differentialstruktur"

@Benutzer:‎Café Bene: Diesen Ausdruck kenne ich nicht. Wo wird der verwendet?

Die Begriffe, die ich kenne sind:

1. Differenzierbarer Atlas: Ein Atlas, dessen Kartenwechselabbildungen differenzierbar sind. Entsprechend: C^k-Atlas.
2. Differenzierbare Struktur: Ein maximaler differenzierbaer Atlas. (Alternativ: Eine Äquivalenzklasse von verträglichen differenzierbaren Atlanten). Entsprechend: C^k-Struktur.

Gruß, --Digamma (Diskussion) 12:03, 25. Jan. 2014 (CET)

Das war vielleicht eine zu wörtliche Übersetzung des englischen Ausdrucks, wobei man mit Google schon auch ein paar deutsche Verwendungen findet, etwa http://www.mathematik.hu-berlin.de/~baum/Skript/KompaktkursHFB-05.ps oder http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=176216&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.co.kr%2F

Der ganze Absatz über "Zusätzliche Strukturen" sollte neu geschrieben werden, das war jetzt nur ein Anfang gewesen, weil ich aus einem anderen Artikel hierauf hatte verlinken wollen.--Café Bene (Diskussion) 12:12, 25. Jan. 2014 (CET) Literatur sollte dann natürlich auch noch angegeben werden.--Café Bene (Diskussion) 12:15, 25. Jan. 2014 (CET)