Diskussion:Lokal integrierbare Funktion

Messbare Mengen, die außer der leeren Menge kein Kompaktum enthalten

Im Artikel steht als Begründung, warum in der Definition mehr als nur Messbarkeit von $\Omega$ verlangt wird: „Für die Definition der lokal integrierbaren Funktionen reicht dies [die Messbarkeit von $\Omega$] nicht aus, da es messbare Mengen gibt, die außer der leeren Menge kein Kompaktum enthalten. Dies würde dazu führen, dass jede messbare Funktion lokal integrierbar wäre.“ Zumindest ist doch jede endliche Teilmenge von $\Omega$ sowohl kompakt als auch eine Borelmenge. Ganz so einfach kann die Begründung also nicht sein. Gut, endliche Mengen sind Lebesgue-Nullmengen und, da wir die üblichen Äquivalenzklassen von Funktionen betrachten, irrelevant. Man könnte also schreiben: „…, da es messbare Mengen gibt, die außer den Lebesgue-Nullmengen kein Kompaktum enthalten.“ Aber ist es den Aufwand wert? Wäre es so schlimm, wenn für solche eher ungewöhnlichen $\Omega$ alle messbaren Funktionen als lokal integrierbar gälten? Gibt es ein nicht-triviales Beispiel für ein solches $\Omega$? (Also eines, bei dem nicht $\Omega$ selbst schon eine Nullmenge ist.) Wenn es „schlimm“ ist, dann hat es wohl mit den Trennungseigenschaften einer Topologie, die man auf $L_{\mathrm {loc} }^{1}$ definieren möchte, zu tun. Aber über so eine Topologie steht auch noch nichts im Artikel. --DufterKunde (Diskussion) 22:16, 9. Feb. 2015 (CET)

Ah, sorry. Die Topologie wird im letzten Punkt unter „Lokal integrierbare Funktion#Eigenschaften“ definiert. Die restlichen Fragen bleiben. --DufterKunde (Diskussion) 22:19, 9. Feb. 2015 (CET)

Ich habe mit $\Omega =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ein relative einfaches Beispiel gefunden und den Artikel angepasst. Hoffentlich habe ich nichts übersehen, aber ich denke, es ist so besser als zuvor. --DufterKunde (Diskussion) 14:20, 10. Feb. 2015 (CET)

Definition

Warum heißt es in der Definition ${\mathcal {D}}(\Omega )\cong C_{c}^{\infty }(\Omega )$ und nicht einfach ${\mathcal {D}}(\Omega )=C_{c}^{\infty }(\Omega )$?--Sigma^2 (Diskussion) 13:09, 23. Feb. 2024 (CET)

Hallo, ich denke, das habe ich vermutlich so notiert, weil auf ${\mathcal {D}}(\Omega )$ eine Topologie definiert ist, die üblicherweise mit $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ nicht mitgemeint ist. Ich merke aber auch jetzt, dass die Darstellung nicht gut ist. --Christian1985 (Disk) 17:27, 23. Feb. 2024 (CET)