Diskussion:Polykonvexe Funktion

Beispiel Zugstab mit St. Vernant-Kirchhoff Gesetz

Hallo wiki-Autoren,

ich habe das Beispiel des Zugstabes mit St. Vernant-Kirchhoff Gesetz näher betrachtet. Die Berechnungen, insbesondere die der Formänderungsenergie, sind auch korrekt. Das Kraft-Verfomungs-Diagramm wird dann mit dem Argument $W_{i}=W_{e}$ hergeleitet. Dies ist meines Wissens nach zulässig, wenn

1. ein elastische Material vorliegt (gegeben),
2. die Lasten und die Volumenkräfte nicht von der Deformation abhängen (gegeben, da dead load).

Wenn allerdings die statische Impulsbilanz $\operatorname {Div} (\mathbf {P} )=\mathbf {0}$ mit $\mathbf {P}$ als 1. Piola-Kirchhoff Spannungstensor betrachtet wird, ergibt sich ein anderes Ergebnis. Die Gleichung ist durch den Ansatz schon erfüllt. Die Streckungen α, β können auch über die Spannungsrandbedigungen $\mathbf {T} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {N}$ ($\mathbf {T}$: Spannungsvektor bezogen auf Ausgangsfläche, $\mathbf {N}$: Lagrange-Normale) bestimmt werden. Ich berechne den 1. PK zu

$\mathbf {P} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {S} =\mathbf {F} \cdot \left[\lambda \operatorname {tr} \left(\mathbf {E} \right)\mathbf {I} +2\mu \mathbf {E} \right]=\lambda \operatorname {tr} \left(\mathbf {E} \right){\begin{bmatrix}\beta &0&0\\0&\beta &0\\0&0&\alpha \end{bmatrix}}+2\mu {\begin{bmatrix}\beta \left[\beta ^{2}-1\right]&0&0\\0&\beta \left[\beta ^{2}-1\right]&0\\0&0&\alpha \left[\alpha ^{2}-1\right]\end{bmatrix}}\,.$

Für die Mantelfläche des Zylinders gilt: $\mathbf {0} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {E} _{R}\Rightarrow \varepsilon _{r}=-\nu \varepsilon _{z}$. Das ist das bekannte Ergebnis.

Für die belastete Stirn des Zylinders gilt: $\mathbf {T} ^{0}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {E} _{Z}$. Mit $\mathbf {T} _{z}^{0}=F/A_{0}$ finde ich folgenden Ausdruck:

${\frac {F}{A_{0}}}=\lambda \operatorname {tr} \left(\mathbf {E} \right)\alpha +2\mu \alpha \left[\alpha ^{2}-1\right]=\left[\lambda \left[1-2\mu \right]+2\mu \right]{\frac {\alpha }{2}}\left[\alpha ^{2}-1\right]=E{\frac {\alpha }{2}}\left[\alpha ^{2}-1\right]\,.$

Daraus folgere ich dass ${\frac {FL_{0}}{EV_{0}}}={\frac {\alpha }{2}}\left[\alpha ^{2}-1\right]$. Dieses Ergebnis ist leider nicht das, was in dem Artikel berechnet worden ist. Ich sehe ein, dass mein Ergebnis über die Impulsbilanz berechnet wurde. Das andere ist über ein Energieargument berechnet worden. Aber sollten nicht bei dasselbe liefern?

Grüße Sebastian

Hallo Sebastian, vielen Dank für deine treffende Anmerkung! Auf jeden Fall sind mathematische Beweise wegunabhängig ;) Ich habe daraufhin das Beisiel überarbeitet. Ist das jetzt so korrekt? --Alva2004 (Diskussion) 09:46, 23. Jun. 2016 (CEST)