Diskussion:Pseudoinverse

ein paar Sachen

• "Mit der Singulärwertzerlegung existiert ein einfacheres Verfahren zur Berechnung der Pseudoinversen." Die Normalengleichungen zu lösen ist sicher einfacher. Eventuell ist die SVD stabiler.
• $A^{H}$ sollte wohl durch $A^{*}$ ersetzt werden um konform mit der adjungierten Matrix zu sein.
• "Die Pseudoinverse einer Blockmatrizen kann mittels der Blockmatrix-Pseudoinversen berechnet werden." Hier sollte wohl erklärt sein welcher Art die Blockmatrix sein soll. Bzw. wie so eine Blockmatrix aussieht. (Block diagonal,Dreieck?) Ansonsten imho lieber weglassen.
• Blockmatrix-Pseudoinverse - gibt's die wirklich?
• $A^{\dagger }$ gefällt mir zwar besser ich mußte aber feststellen(entgegen meinem ersten edit ;-) ) das dies doch eher selten verwendet wird(z.B. in Martin Hanke Bourgeois - Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens(2002)) "online" scheint sich ohnehin + durchgesetzt zu haben.
• Wieso wird nicht auf die "normale" Pseudoinverse eingegangen sondern nur auf die "Moore Penrose" Pseudoinverse?

Grüße --Mathemaduenn 11:37, 15. Dez. 2006 (CET)

• Die Verwendung von $A^{H}$ ist beabsichtigt um Verwechslungen zu vermeiden. Ich werde die Adjungierte noch anpassen. --Stefan Birkner 11:47, 15. Dez. 2006 (CET)
• Bezüglich der Blockmatrix-Pseudoinverse werde ich mich nochmal schlau machen.
• Auf die normale Pseudoinverse wird nicht eingegangen, weil sie mir bis jetzt noch nicht über den Weg lief und dem Schreiber des englischen Artikels wohl auch nicht. Aber ich werde sehen, was ich dazu noch finde.

Prinzipiell soll mit die Übersetzung erstmal als Ausgangsbasis dienen, denn mit dem was bis jetzt hier steht bin ich nicht zufrieden. --Stefan Birkner 11:47, 15. Dez. 2006 (CET)

Hallo Stefan, ich habe jetzt nochmal in 2 Bücher geschaut. Einmal das oben angegebene und Golub/van Loan "Matrix computations" dort wird nur von "Pseudoinverse" gesprochen und genau das aus dem Artikel beschrieben. Zur Lösung von Ausgleichsproblemen wird man wohl die Pseudoinverse nicht berechnen sondern i.A. eine QR-Zerlegung machen. Das werde ich mal entsprechend anpassen. --Mathemaduenn 11:50, 16. Dez. 2006 (CET)

Als Pseudoinverse wird eigentlich eine Abbildung bezeichnet, die nur die ersten beiden Eigenschaften erfuellt. Damit ist die Pseudoinverse einer Matrix allerdings nicht eindeutig definiert. Die uebliche Pseudoinverse ist dann die Moore-Penrose-Inverse, die zwei weitere Eigenschaften fordert und damit zu einer eindeutig bestimmten Matrix kommt. In der numerischen Mathematik wird Pseudoinverse und Moore-Penrose-Inverse synonym verwendet, in der linearen Algebra und der Statistik nicht unbedingt. Alle Angaben modulo keine vorliegenden Literaturangaben. --P. Birken 13:20, 18. Dez. 2006 (CET)

Auch in der Numerik benutzt man andere Pseudo-Inverse. Diese jedoch nicht so häufig. Beispiel: Sei $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine nicht notwendigerweise reguläre diagonalisierbare Matrix und $A=V^{-1}DV$ eine Eigenwertzerlegung von $A$. Dann ist $V^{-1}D^{+}V$ mit $D_{ii}^{+}=D_{ii}^{-1}$ falls $D_{ii}\neq 0$ und $D_{ii}^{+}=0$ falls $D_{ii}=0$ ebenfalls Pseudoinverse von $A$ (das ist die Drazin-Inverse). Diese hat den Vorteil, dass Eigenrichtungen erhalten bleiben. Anwendungen gibt es meines Wissens nach in der spektralen Ordnungsreduktion (da bin ich mir jetzt jedoch nicht mehr so sicher, bei Bedarf müsste ich noch einmal in meine Quellen schauen...). Die Moore-Penrose-Inverse hat dagegen den Vorteil, dass sie bei lösbaren linearen Systemen die normkleinste Lösung liefert.

Zum Beispiel Allgower unterscheidet in "Numerical Continuation Methods" sauber zwischen Moore-Penrose-Inverser und allgemeiner Pseudo-Inverser. Bei ihm ist das wesentlich, da man mit der LU-Zerlegung für singuläre Matrizen wesentlich billiger an Pseudo-Inverse herankommt, als mit der Singulärwertzerlegung (oder rangdetektierender QR-Zerlegung). Er zeigt auch wie man bei einer rechteckigen nx(n+1)-Matrix (mit Maximalrang) von einer beliebigen Pseudo-Inversen einfach an die Moore-Penrose-Inverse herankommt (Projektion der Lösung auf das orthogonale Komplement des Kerns der rechteckigen Matrix).

--TN 14:08, 27. Dez. 2006 (CET)

Rechenregel (AB)^+ = ...

Die zweite Rechenregel ist im Allgemeinen nicht richtig. Ich zitier mal die englische Seite:

If A and B are such that the product AB is defined and either A or B is unitary, then (AB) + = B + A + . If A and B are such that the product AB is defined, A is of full column rank, and B is of full row rank, then (AB) + = B + A + . The second case here does not cover the first; a unitary matrix must be of full rank, but otherwise there is no assumption made on the matrix it multiplies.

Ja, mein Fehler Sei mutig Gruß --Mathemaduenn 17:19, 23. Jan. 2007 (CET)

Verallgemeinerte Pseudoinverse

Eventuell könnte man den folgenden Text ergänzen. Was meint ihr? --TN 11:39, 10. Mär. 2007 (CET)

Vom ansatz her gut, aber ich würde es dann anders aufziehen: Deinen Text einfach nehmen und die aktuelle Definition dann unter einem folgenden Abschnitt "Moore-Penrose-Inverse" bringen, anstatt Deines jetzigen "Beispiel"-Abschnitts. Ach ja, was meinst Du mit vollem Bild? Das Wort "voll" kann man doch einfach streichen? --P. Birken 16:53, 10. Mär. 2007 (CET)

Danke für die Antwort. Ich bin davon ausgegangen, dass diejenigen, die in diesem Artikel die Moore-Penrose-Inverse als Pseudoinverse bezeichnen, ihren guten Grund dafür haben (nach dem Motto der Beschreibung vom speziellen bekanntesten Fall ausgehend hin zum allgemeineren Fall).

Ich habe noch einmal in verschiedenen Mathebüchern nachgeschaut (Foster,Jänich,Walter,Kaul/Fischer). Den Begriff "volles Bild" habe ich wirklich nicht gefunden. Weiß nicht, wo ich den aufgeschnappt habe. Gemäß deinem Vorschlag habe ich das Wort "voll" im Text gestrichen. Danke für den Hinweis. --TN 23:43, 10. Mär. 2007 (CET)

Dann tu doch einfach den Abschnitte so in den Artikel, ich würde ihn dann entsprechend meinem Vorschlag umbauen, wenn Du nchts dagegen hast. --P. Birken 11:15, 11. Mär. 2007 (CET)

Der Text ist aus meiner Sicht noch zu unausgegoren für den Artikel. Habe eben bemerkt, dass die Drazin-Inverse nur dann eine Pseudo-Inverse ist, wenn $N$ gleich einer Nullmatrix ist. (In den Fällen, in denen ich sie bisher benutzt habe, habe ich mich nicht mit nilpotenten Blöcken rumschlagen müssen.) Die Charakterisierung der (verallgemeinerten) Pseudo-Inversen ist aus [Koecher, Lineare Algebra und analytische Geometrie]. Die kann also nicht so falsch sein. Bei PlanetMath.org wird eine Matrix $B$ schon als verallgemeinerte Pseudo-Inverse von $A$ bezeichnet, wenn $ABA=A$ gilt. Allerdings würde die Drazin-Inverse auch im Rahmen dieser allgemeineren Definition nicht zu den Pseudo-Inversen zählen, falls $N$ keine Nullmatrix ist. Sollte die Drazin-Inverse dann nicht auf eine eigene Seite und der Spezialfall $N=0_{n-r,n-r}$ hier als Beispiel rein?--TN 11:51, 11. Mär. 2007 (CET)

Hier auf der Diskussionsseite ist es wegen der Versionsgeschichte etwas schwierig mit Edits von mir. Die Drazin-Inverse kann denke ich ruhig als Beispiel bleiben. --P. Birken 10:27, 13. Mär. 2007 (CET)

Hallo, ich habe mal noch ein wenig recherchiert und den Text etwas geändert. Israel geht auch von der Moore-Penrose-Inversen aus und entwickelt von dem Punkt aus die anderen Inversen. Ist vielleicht gar nicht so schlecht.

Habe den Text jetzt auf die Artikelseite verschoben --TN 9:44, 17. Mär. 2007 (CET)

Ist halt immer die Frage, ob man didaktisch vorgeht oder von den Begriffen wie sie sich letztlich etabliert haben. Ich habe meinen Gliederungsvorschlag mal umgesetzt, was meinst Du? --P. Birken 11:05, 17. Mär. 2007 (CET)

Die Einleitung ist jetzt besser. Gliederung ist auch weitgehend okay. Weißt du, wie man die Literatur mit in die Quellen verschiebt, ohne dass Verweise notwendig sind? Sollen noch irgendwo Verweise auf [Kielbanski/Schwetlick] und [Mackens] eingefügt werden oder soll die Zweiteilung in Quellen und Literatur bestehen bleiben? Was mich weiterhin ein wenig stört ist die Zweiteilung in unter- und überbestimmtes Gleichungssystem im Anwendungsabschnitt. Fakt ist doch, dass man mit Hilfe der Moore-Penrose-Inversen für beliebige lin. Gleichungssysteme die einem vorgegebenen Punkt nächste Lösung des linearen Quadratmittelproblems bestimmen kann. Nachdem das klargestellt ist, kann man dann darauf eingehen, dass, wenn es eine eindeutige Lösung gibt, eben diese rauskommt -- und wenn das lineare Gleichungssystem exakt lösbar ist, als Residuum null rauskommt. Damit klargestellt wird, dass der Abschnitt "Weitere Versionen von verallgemeinerten Inversen" nicht erschöpfend ist, habe ich die Überschrift in "Ausgewählte weitere Versionen von verallgemeinerten Inversen" geändert.

Sorry, ich habe eben bemerkt, dass du meinen Text zerlegt hast und "Allgemeine Pseudoinverse" vorgezogen hast. Hm, das geht, glaube ich, mit den Forderungen von Israel, diese sind einfach vage genug gehalten um viele praktische Fälle abzudecken (bei der restringierten Pseudoinversen muss man zweimal hinschauen, damit man mitbekommt, dass diese doch die Forderungen trifft). Aber mit der Definition von Koecher ($ABA=A,BAB=B$ geht das schon nicht mehr, da Koecher nicht die in der Systemtheorie wichtige Drazin-Inverse abdeckt). Wir sollten also Koecher entweder ganz löschen oder wieder weiter hinter als ein Beispiel in den Verallgemeinerungsabschnitt schieben. Ganz löschen wäre schade, da Koecher in Deutschland ein wichtiges Buch ist (Serie Grundwissen Mathematik).

Dann muss ich wohl doch nach mal in Literatur schauen. Die Definition von Koecher ist ja nicht seine Privatdefinition. Ich frage mich auch, ob diese Drazin-Inverse wirklich als Pseudoinverse bezeichnet wird? --P. Birken 20:00, 17. Mär. 2007 (CET)

Meine Sicht: Koecher wollte in seinem Algebrabuch den Blick wenigstens ein wenig weiten und hat außer der Moore-Penrose-Inversen wenigstens eine allgemeinere Form angeboten. Israel/Greville haben den Pseudoinversen gleich ein ganzes Buch gewidmet und haben sich dabei eine wesentlich weitere Perspektive erlaubt. Ich zitiere mal Israel:

"... there is a unique matrix $X$ satisfying the four equations (that we call the Penrose equations)

1. $AXA=A$
2. $XAX=A$
3. $(AX)^{*}=AX$
4. $(XA)^{*}=XA$

... Throughout this book we shall be much concerned with generalized inverses that satisfy some, but not all, of the four Penrose equations. As we shall wish to deal with a number of different subsets of the set of four equations, we need a convenient notation for a generalized inverse satisfying certain specified equations..."

Dann bezeichnet er mit $A\{i,j,\ldots ,k\}$ die Menge der Matrizen, die die Penrose-Gleichungen (i),(j),...,(k) erfüllen. Im Buch tauchen wirklich alle Kombinationen auf, die durch verschiedene andere Bedingungen ergänzt werden. Den Begriff "generalized inverse" verwendet er übrigens synonym für "pseudoinverse": "Some writers used the term "pseudoinverse rather than "generalized inverse". Beste Grüße, --TN 22:31, 17. Mär. 2007 (CET)

Bemerkung zum Revert vom 21.05.2007

Der letzte Satz in der Aussage

Gibt es für das Gleichungssystem $Ax=b$ unendlich viele Lösungen so kann man diese über

$x=A^{+}b+(I-A^{+}A)y$ $y\in \mathbb {C}$

bestimmen. Dabei ist $x$ diejenige Lösung des Gleichungssystems die von y den kleinsten Abstand bezüglich der euklidischen Norm hat.

wurde unnötiger Weise zu

Die Lösungen mit dem kleinsten Abstand bezüglich der euklidischen Norm wird für y=0 angenommen.

abgeschwächt. Ich habe den alten Text wieder hergestellt. Im Weiteren folgt die Begründung für die alte Fassung:

Man nutzt aus, dass $A^{+}A$ der orthogonale Projektor auf $\operatorname {ker} (A)^{\perp }$ ist und $\mathbf {1} -A^{+}A$ der orthogonale Projektor auf $\operatorname {ker} (A)$.

Die allgemeine Lösung der Quadratmittelaufgabe $\operatorname {argmin} _{x}\|Ax-b\|$ lautet $x=A^{+}b+(\mathbf {1} -A^{+}A)z$ mit $z\in \mathbb {R} ^{m}$. Die spezielle Lösung, die am nächsten an einem vorgegebenen Vektor $y\in \mathbb {R} ^{m}$ liegt, erhält man aus

${\begin{matrix}\|x-y\|^{2}&=&\|A^{+}b+(\mathbf {1} -A^{+}A)z-y\|^{2}\\&=&\|A^{+}b-A^{+}Ay+(\mathbf {1} -A^{+}A)(z-y)\|^{2}\\&=&\|A^{+}(b-Ay)\|^{2}+\|(\mathbf {1} -A^{+}A)(z-y)\|^{2}\end{matrix}}$

Für die letzte Zeile wurde der Satz des Pythagoras genutzt. Die rechte Seite lässt sich nun einfach minimieren, indem man $z=y$ setzt. --TN 00:00, 22. Mai 2007 (CEST)

Anwendung Drazin-Inverse

$\int \exp(At)dt=(\mathbf {1} -AA^{D})t+(\exp(At)-\mathbf {1} )A^{D}$ Wichtig für lin. DGL-Syst. 2. Ordnung (Schwingungs-DGL-Systeme). Parke das mal hier. Habe jetzt nicht viel Zeit das weiter auszuführen... Mache später weiter. --TN 19:57, 16. Dez. 2007 (CET)

Habe gerade mitbekommen, dass das so nur bis Index eins gilt. Trotzdem das bestimmt der wichtigste Anwendungsfall ist (z.B. für frei drehbare mechanische Antriebsstränge) habe ich auf der Artikelseite mal die allgemeine Variante aufgeschrieben. --TN 09:25, 17. Dez. 2007 (CET)

Singulärwertzerlegung als numerisch gutartigstes Verfahren

Ich hatte meinen Grund dafür, die Singulärwertzerlegung als numerisch gutartigstes Verfahren zu bezeichnen. Die rangdetektierende QR-Zerlegung wird zwar auch häufig für die Berechnung der Moore-Penrose-Inversen verwendet, jedoch kann dieses Verfahren bei bestimmten Problemklassen den numerischen Rangabfall nicht richtig erkennen. Die Singulärwertzerlegung funktioniert da zuverlässiger. Deshalb setzen zum Beispiel Laub/Van Dooren/Patel bevorzugt die Singulärwertzerlegung für solche und ähnliche Zwecke (z.B. Matrixkompression) ein. --TN 23:04, 16. Dez. 2007 (CET)

Erstmal aus Artikel entfernt: Rechenbeispiel

Nach einer Diskussion mit Benutzer:P. Birken habe ich das Rechenbeispiel zur Drazin-Inversen wieder rausgenommen. Damit der Text nicht gleich ganz verloren geht, steht er erstmal hier... --TN 22:50, 21. Dez. 2007 (CET)

Benutzer:P. Birken hat schon recht. Das ist ein Beispiel zu einer Anwendung der Drazin-Inversen, in dem die Drazin-Inverse nur eingebettet ist. Hm, vielleicht sollte man die Drazin-Inverse herauslösen. D.h., nur das Bildchen des mech. Systems, die Aussage, dass das System in Schwerpunkts- und Differenzkoord. die unten stehende Systemmatrix hat und dann die Drazin-Inverse dazu. --TN 23:03, 21. Dez. 2007 (CET)

Oder ist das auch schon zu viel? Wahrscheinlich... Schluchz. --TN 23:04, 21. Dez. 2007 (CET)

Bild 1: Freier, krafterregter Zweimassenschwinger

Auf Masse 1 des Feder-Masse-Systems in Bild 1 wirkt eine Kraft $F(t)=F_{0}\cdot u(t)$ mit der Normierungskonstanten $F_{0}$ und dem Eingangssignal $u$ ein. Die aus dem Newtonschen Grundgesetz resultierenden Gleichungen für dieses System lauten

${\begin{matrix}{\dot {x}}_{1}&=&v_{1},&&&\\{\dot {x}}_{2}&=&v_{2},&&\\m_{1}{\dot {v}}_{1}&=&-cx_{12}&-&bv_{12}&+&F_{0}\cdot u,\\m_{2}{\dot {v}}_{2}&=&cx_{12}&+&bv_{12}\end{matrix}}$

mit $x_{12}:=x_{1}-x_{2}$ und $v_{12}={\dot {x}}_{12}$. Ausgangsgröße dieses Systems sei der Weg der zweiten Masse $y=x_{2}$.

Mit der Gesamtmasse $m_{12}:=m_{1}+m_{2}$, der reduzierten Masse $m_{\mathrm {R} }:={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{12}}}$, dem Masseschwerpunkt $x_{\mathrm {S} }:={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{12}}}$, dem Zustandsvektor $x={\begin{pmatrix}x_{12}\\v_{12}\\x_{\mathrm {S} }\\v_{\mathrm {S} }\end{pmatrix}}$ und den Matrizen $A={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-c/m_{\mathrm {R} }&-b/m_{\mathrm {R} }&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$, $B={\begin{pmatrix}0\\{\frac {m_{2}}{m_{12}}}F_{0}\\0\\{\frac {F_{0}}{m_{12}}}\end{pmatrix}}$ und $C={\begin{pmatrix}-m_{1}/m_{12}\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$ ergibt sich daraus das Gleichungssystem

${\begin{matrix}{\dot {x}}&=&Ax&+&Bu,\\y&=&C^{T}x.\end{matrix}}$

In diesem Beispiel hat die Systemmatrix $A$ eine besonders einfache Blockdiagonalgestalt mit einem regulären 2x2-Block sowie einem nilpotenten 2x2-Block, und die Drazin-Inverse lässt sich mit der Inversen ${\begin{pmatrix}-b/c&-m_{\mathrm {R} }/c\\1&0\end{pmatrix}}$ des regulären ersten Blocks einfach angeben:

$A^{D}={\begin{pmatrix}-b/c&-m_{\mathrm {R} }/c&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Leicht überzeugt man sich von $\ker(A)=\operatorname {span} ({\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}^{T})$, $\ker(A^{2})=\ker(A^{3})=\ldots =\operatorname {span} ({\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}^{T},{\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}}^{T})$. Die Matrix $A$ hat also Index $i=2$. Die im letzten Abschnitt angegebene Gleichung für die Sprungantwort des Systems liefert in diesem Fall für $t>0$:

$y(t)={\begin{pmatrix}-{\frac {m_{1}}{m_{12}}}&0&1&0\end{pmatrix}}\left(t{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}+{\frac {t^{2}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}+\left(\exp(At)-\mathbf {1} \right)A^{D}\right){\begin{pmatrix}0\\m_{2}F_{0}/m_{12}\\0\\F_{0}/m_{12}\end{pmatrix}}$

Bild 2: Sprungantwort des freien, krafterregten Zweimassenschwingers

Multipliziert man die rechte Seite aus, so erhält man mit $D:=-b/(2m_{\mathrm {R} })$ und $\omega _{\mathrm {E} }={\sqrt {c/m_{\mathrm {R} }-D^{2}}}$ die Gleichung

$y(t)={\frac {t^{2}F_{0}}{2m_{12}}}+{\frac {m_{1}F_{0}}{m_{12}^{2}}}\left(\exp(-Dt)\left({\frac {D}{\omega _{\mathrm {E} }}}\sin \left(\omega _{\mathrm {E} }t\right)-\cos \left(\omega _{\mathrm {E} }t\right)\right)+1\right).$

Der Verlauf der so berechneten Sprungantwort des Zweimassensystems mit den Parametern $m_{1}=1\,\mathrm {kg} ,m_{2}=2\,\mathrm {kg} ,F_{0}=10\,\mathrm {N} ,c=100\,\mathrm {N/m} ,b=0.1\,\mathrm {Ns/m}$ ist für $t>0$ in Bild 2 dargestellt. Alternativ kann man zur Berechnung der Sprungantwort linearer zeitinvarianter Systeme vorteilhaft die Laplace-Transformation anwenden.

Inkonsistente Benennung der Einheitsmatrix

Über weite Teile des Artikels wird die Einheitsmatrix mit $E$ bezeichnet. Im Unterabschnitt "Anwendungen" des Abschnitts "Drazin-Inverse" aber mit $I$.

Diese Notation sollte vereinheitlicht werden. Die Verwendung von $I$ ist meiner Beobachtung nach die übliche, daher würde ich vorschlagen, diese durchgängig zu verwenden. --132.199.99.50 10:51, 4. Dez. 2018 (CET)

Das kannst du gerne auch selbst ändern. Sei mutig. Wichtig: Bearbeitungskommentar in der Zusammenfassungszeile nicht vergessen. --Digamma (Diskussion) 21:33, 4. Dez. 2018 (CET)