Diskussion:Sankt-Petersburg-Paradoxon

Diskussion:Sankt-Petersburg-Paradoxon

In diesem Zusammenhang vielleicht interessant: http://arxiv.org/abs/1110.1578 (nicht signierter Beitrag von 88.72.252.235 (Diskussion) 23:22, 21. Okt. 2011 (CEST))

Der Link: http://www.cs.xu.edu/math/Sources/Montmort/stpetersburg.pdf funktioniert nicht mehr

Gruß mh

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Die Auflösungsversuche des Paradoxon gehen soweit ich das sehe alle vom Spieler als Entscheider aus. Wie steht es allerdings um das Casino? Gibt es eine Einschätzung dazu, bis zu welchem Einkaufsbetrag das Angebot des Spiels für das Casino ruinös wäre? Gruß, ad

Ruinös für einen eventuellen Verkäufer wird es theoretisch bei einem Geldbetrag, der kleiner unendlich ist . In der Praxis mit einem endlichen Spiel von z.B. N=40 Würfen wird es bei einem Preis/Verkauf kleiner des EW=(40+1)/2 = 20,5 für die Bank ruinös. --92.226.225.44 14:52, 30. Mär. 2012 (CEST) --95.91.144.131 21:07, 22. Feb. 2011 (CET)

Allgemeines

ACHTUNG dieser Artikel bedarf einer dringenden Überarbeitung! Der Wert des Spiels, ist bei 1000000 ca. 20€!!! Das habe ich aus folgendem Buch: Székely: Paradoxa (Verlag Harri Deutsch). Ich bitte deswegen darum, dem Artikel für die fehlerhaftigkeit kenntlich zu machen! Mir fehlt gerade die Zeit etwas zu ändern.--Party Sahne 23:58, 25. Jan 2006 (CET)

Dieser Artikel orientiert sich sehr stark an der englischen Fassung in der englischen Wikipedia

Außerdem sind Fehler im Artikel. Der Erwartungswert für dieses Spiel ist 0, da man mit 50% Wahrscheinlichkeit seinen Einsatz verdoppelt und mit 50% nichts erhält und 0,5*(0+2)=1 --62.245.209.227 14:20, 28. Jul 2005 (CEST)

@ Benutzer 62......... "Außerdem sind Fehler im Artikel."

Es sind natürlich keine Fehler im Artikel. Was Du berechnest, gilt für die einfache Chance (Rot/Schwarz, gerade/ungerade, 1.Hälfte/2.Hälfte) beim Roulette im Casino! Beim St. Petersburg-Paradoxon wird sogar der 'Übergang' als letzte Stelle im Gewinnplan berücksichtigt!!! Das würde ich mir beim Roulette manchmal wünschen. ;-) Hier wird der Gewinnplan mit der exponentiellen 'Verdopplerfunktion' vorgegeben und der Einsatz/Preis oder Erwartungswert EW/E für dieses Spiel versucht zu bestimmen. Aufgrund der Tatsache, daß hier nun gerade zwei gleiche Exponentialfunktionen, die im Zähler steigend und die im Nenner identisch steigend, geteilt werden, kommt es zu der Situation, das auf klassische Weise kein Erwartungswert bestimmt werden kann, d.h. EW unendlich! Bei einem Gewinnplan mit linearen Funktionen oder anderen Exponentialfunktionen oder Funktionen mit deren Charakter läßt sich IMMER ein endlicher Erwartungswert bestimmen. (Test erfolgte mit Gewinnplan-Funktion Linear n, der Normität n? und Fakultät n!) --78.55.13.164 10:30, 30. Mär. 2012 (CEST) Ingolf (nicht signierter Beitrag von 78.50.129.134 (Diskussion) 09:04, 30. Mär. 2012 (CEST))

Das Paradoxon geht nicht auf Johann Bernoulli, sondern auf Nikolaus I Bernoulli zurück ... Ich habe es mal geändert. --JJohann 22:05, 27. Sep 2005 (CEST)

Auch die englische Version benoetigt einige Aenderungen, die deutsche ist zwar knapper, gefaellt mir aber eigentlich fast besser, da weniger Nebensaechliches von der eigentlichen Bedeutung des Paradoxons fuer die Wirtschaftswissenschaften ablenkt... - Siehe meine Kommentare dort. Wenn ich mal Zeit habe, setze ich mich hin und aendere beides. (Prinzipiell ist ja nichts dagegen einzuwenden, wenn englische und deutsche Version aehnlich sind. - Man muss das Rad ja nicht zweimal erfinden...)

Die Referenz, die ich habe, gibt uebrigens Daniel Bernoulli als Entdecker an... Ich hoffe das stimmt, denn mein Paper ist inzwischen veroeffentlicht... ;-)

Marc 129.132.146.72 16:58, 23. Jan 2006 (CET)

Ich habe die Seite voellig ueberarbeitet. - Im Wesentlichen mit dem Besten der englischen Version. Dabei ist die Sache mit der majorisierten Konvergenz herausgeflogen (passt eigentlich nicht hierher). Ich hoffe, es gefaellt... 129.132.146.72 13:43, 8. Feb 2006 (CET)

Hier passt der Satz nicht mit dem darauf folgenden Beispiel zusammen: "Die Hauptidee ist hierbei, dass doppelt soviel Geld nicht doppelt so gut sein muss: Zum Beispiel ist der relative Unterschied in der (subjektiven) Nützlichkeit von 2 Billionen Euro zu 1 Billion Euro sicher kleiner als der entsprechende Unterschied zwischen 1 Billion Euro und gar keinem Geld."

Der Einwand ist berechtigt. Ich habe es geändert: „Die Hauptidee ist hierbei, dass ein Geldbetrag unterschiedlich bewertet wird“ -- JonnyJD 18:15, 3. Okt. 2007 (CEST)

Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz

... ist zwar ganz interessant, hat aber nichts mit dem Sankt-Petersburg-Paradoxon zu tun. -- Martin Vogel ^{قهوة؟‎} 12:50, 17. Nov 2005 (CET)

Stimme ich voll zu. Waere hoechstens eine interessante Anwednung naemlichen Satzes und sollte dann dort behandelt werden.

Marc 129.132.146.72 16:54, 23. Jan 2006 (CET)

Erwartungswert, Gewinnerwartung, Geldeinsatz

Es schein hier gar kein Paradoxon vorzuliegen, denn der Erwartungswert ist nicht gleich der Gewinnerwartung. Da ein extrem hoher Gewinn extrem unwahrscheinlich ist, und ein kleiner Gewinn sehr wahrscheinlich, ist folglich auch der Geldeinsatz gering.

Zwar ist der Erwartungswert unendlich, man erreicht diesen in der Praxis aber nur, wenn man das Experiment hinreichend oft durchführt. In diesem Fall müsste die Anzahl der Versuche gegen unendlich gehen, damit der Gewinn ebenfalls gegen unendlich geht. Vergleiche den Erwartungswert beim Würfeln: Da nur 6 verschiedene Ergebnisse mit derselben Wahrscheinlichkeit möglich sind, kann der Erwartungswert (3,5) praktisch nach einigen hundert Versuchen schon angenähert werden.

@Party Sahne: Kannst Du begründen, warum der Gewinn nach 1.000.000 Versuchen nur 20 EUR sein soll? Deine Kritik am Artikel nutzt in dieser Form nicht.

@Alexraasch.. Völlig falsche Wiedergabe der Partysahne-Fakten, der Gewinn steht doch fest, es geht um den Preis des Spiels! In dem Buch geht es unter anderem auch darum, das Paradoxon mit praktischen Mitteln zu lösen. Wenn man eine Endlichkeit des Spiels festlegt, wie es auch im Orginal-Wikipedia-Beitrag wunderbar beschrieben wird, gilt für einen EW= (N+1)/2! Mit ca 1.000.000 ist der mögliche Gewinn, hier wohl bei 19 mal Kopf und dem Übergang, demnach der N=20-igsten Stelle gemeint.

Das ergibt dann einen Preis oder EW des Spiels von (39+1)/2= 20 Geldeinheiten(Euro, Dollar, Fiat- oder Kurantgeld oder Goldnuggets...) --78.55.13.164 10:30, 30. Mär. 2012 (CEST) Ingolf (nicht signierter Beitrag von 78.50.129.134 (Diskussion) 09:04, 30. Mär. 2012 (CEST))

@Benutzer 62.245.209.227: Der Erwartungswert ist nicht Null, und ob man seinen Einsatz mit 50% verdoppelt, hängt vom tatsächlichen Einsatz ab, welchen zu ermitteln ja erst Sinn des Artikels ist.

Alexraasch 27.05.2006

Ob der Erwartungswert Null ist, hängt davon ab wie man das Spiel sieht.

Betrachtet man das Spiel ohne Einsatz, dann ist der Erwartungswert unendlich. Wenn man als Erwartungswert aber als Gewinn - Einsatz sieht, dann ist er tatsächlich Null. In dem Fall ist aber der Einsatz unendlich.

So oder so kommt man auf die Unendlichkeit und der Einfachkeit halber finde ich es deshalb in Ordnung zu sagen der Erwartungswert ist unendlich.

--JonnyJD 19:01, 11. Jun 2006 (CEST)

Nichts für ungut Leute, aber wenn ihr an derart grundlegenden Begriffen wie dem Erwartungswert solche Schwierigkeiten habt, haltet euch aus der Mathematik raus. Der Erwartungswert ist hier unendlich, das ist eigentlich im Artikel vollkommen anschaulich dargelegt. 1/2 * 1 + 1/4 * 2 + 1/8 * 4 +... "=" unendlich. (nicht signierter Beitrag von 84.58.104.35 (Diskussion | Beiträge) 19:49, 6. Dez. 2009 (CET))

vereinfachte Formel zur endlichen Lotterie ist falsch

Die alte Version lautete:

$E=\sum _{k=1}^{L}p_{k}2^{k-1}=\sum _{k=1}^{L}{1 \over 2}={L \over 2},$

Sie ist deshalb falsch, weil sie einen Bruchteil des Ereignisraums ausklammert. So aufgeschreiben kommt man in der Summe der Wahrscheinlichkeiten ja nicht auf 1. Es müssen auch noch die Möglichkeiten, dass erst in Würfen nach L Zahl erzielt werden würde, betrachtet und in dem Fall mit dem Maximum der Auszahlung (2^{L-1}) multipliziert.

Die richtige Formel wäre:

$E=\sum _{k=1}^{L}p_{k}2^{k-1}+2^{L-1}\sum _{k=L+1}^{\infty }p_{k}=\sum _{k=1}^{L}{1 \over 2}+2^{L-1}(1-(1-{1 \over {2^{L}}}))={L+1 \over 2},$

bzw. mit noch nem Zwischenschritt:

$E=\sum _{k=1}^{L}p_{k}2^{k-1}+2^{L-1}\sum _{k=L+1}^{\infty }p_{k}=\sum _{k=1}^{L}{1 \over 2}+2^{L-1}(\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}-\sum _{k=1}^{L}p_{k})=\sum _{k=1}^{L}{1 \over 2}+2^{L-1}(1-(1-{1 \over {2^{L}}}))={L+1 \over 2},$

$\sum _{k=1}^{L}p_{k}=\sum _{k=1}^{L}2^{-k}=1-{1 \over {2^{L}}}$ lässt sich durch Induktion zeigen und damit dann auch: $\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}=1$

Da die richtige Formel etwas komplizierter ist und ließe sich darüber nachdenken noch einen Zwischenschritt wegzulassen:

$E=\sum _{k=1}^{L}p_{k}2^{k-1}+2^{L-1}\sum _{k=L+1}^{\infty }p_{k}=\sum _{k=1}^{L}{1 \over 2}+{1 \over 2}={L+1 \over 2},$

Ich habe ihn aber erst einmal gelassen, damit man sieht, woher das Ergebnis kommt.

Ich bitte natürlich jemanden darum das Ding nachzuprüfen. Schon deshalb, weil ich mich gerade mit dem Paradox beschäftige und keine falschen Tatsachen bekanntgeben will ;-)

--JonnyJD 18:42, 11. Jun 2006 (CEST)

Falls meine Überlegungen richtig sind, sollte man vielleicht auch den englischen Artikel in der Hinsicht ändern. --JonnyJD

Das mit der endlichen Lotterie ist so immer noch nicht richtig. Wozu braucht man den maximalen Geldbetrag des Kasinos? Für jede Wurfzahl N lässt sich ein zu erwartender Gewinn nach den Regeln (bei unendlichem Geldvorrat des Casinos) angeben. Und nach diesem zu erwartenden Gewinn richtet sich der faire zu zahlende Einsatz.

Für die Realität viel bedeutsamer ist das Vermögen des Spielers - wieviel er pro Wurf setzen darf, um vor den zu erwartenden Gewinnen nicht pleite zu sein. --KnightMove 22:31, 29. Mär. 2007 (CEST)

Nein, das Kasino kann das Spiel ja nur solange zulassen wie es den Gewinn auch zahlen kann. Daraus resultiert dann beispielsweise, dass es einen maximalen Einsatz gibt. Dieser bestimmt dann ja die "genaue" Art des Spiels. Man kann das aber im Artikel vielleicht nochmal erklären. Mach ich aber nicht mehr heute, dazu sollt ich besser fit sein ;-) . --JonnyJD 23:47, 29. Mär. 2007 (CEST)

Ich habe den Abschnitt jetzt mal komplett überarbeitet (siehe 84.188.252.61...) und hoffe es gefällt. --JonnyJD 12:19, 30. Mär. 2007 (CEST)

Namensherkunft

Im Einleitungstext heisst es, das Paradoxon habe seinen Namen durch Bernoullis Veroeffentlichung; im Paradoxon Abschnitt wird dann von einem hypothetischen Casino erzaehlt, von dem der Name herruehre. Bedarf Ueberpruefung! 41.241.122.11 14:48, 24. Jun. 2011 (CEST)

Kein Paradoxon!

Ich sehe das, wie oben beschrieben: Es ist gar kein Paradoxon, weil die Grundannahmen für die Ziele komplett falsch sind. Die (falsche) Grundannahme für das Ziel ist, das die Erwartungswertmaximierung ein Ziel darstellt. Dies ist jedoch nicht der Fall. Es handelt sich um ein instrumentales Ziel. Das dahinterstehende fundamentale Ziel ist die Maximierung des Lebensglückes. Und was das Lebensglück angeht Die Theorie des abnehmenden Grenznutzens geht schon zum Teil darauf ein, dass das Lebensglück nich linear mit dem Geldbesitz einhergeht. Dies ist zwar eine notwendige aber eben noch keine hinreichende Erweiterung der Betrachtung. Zusätlich müssen folgende Dinge betrachtet werden:

• Ein Spieler wird ein paar Spielrunden Freude an dem Spiel haben, danach wird sich aber die Freude in Langeweile oder sogar Aversion umkehren. Eine zu große Stichprobe (Millionen) wirkt sich also drastisch negativ auf sein Lebensglück aus, nur alleine weil es einfach mühsam und langweilig ist, dieses Spiel Millionen mal zu spielen (nicht wegen des Geldes). Zudem kommt, dass durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung Millionen gar nicht ausreichen würden um sicher in die Gewinnzone zu kommen selbst bei relativ niedrigen Einsätzen. Es sind Größenordnungen von Größenordnungen mehr.
• Der Spieler weiß intuitiv, dass er eine sehr große Stichprobe braucht, um auf lange Sicht zu gewinnen. Er weiß also schon auch intuitiv, dass das langweilig wird und er lieber was anderes macht.
• Ein normal denkender Mensch (also nicht spielsüchtig oder manisch oder so) wird immer ein gewisses Mindestmaß an Lebensglück als "parktisch garantiert" (99,9% sicher) sehen wollen. Dieses praktisch garantierte Lebensglück ist er _nicht_ bereit zu opfern. Einem Spiel (oder einer Reihe von Spielen) wird er also nur dann zustimmen, wenn dieses Mindestlebensglück nicht und auf keinen Fall in Gefahr ist.
• Durch die extreme Wahrscheinlichkeitsverteilung in diesem Spiel (große Wahrscheinlichkeit für kleine Gewinne, geringe Wahrscheinlichket für hohe Gewinne), ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass er dieses Mindestmaß an Lebensglück bis zu seinem Lebensende opfern müsste.
• Generell wird bei der Diskussion mit Erwartungswerten in Entscheidungssituationen ein Fehler gemacht, der mich an den Fehler bei durchschnittlichen Gehältern erinnert. Interessanter ist nämlich nicht, was das durchschnittliche Gehalt eines Landes ist, sondern wo der Median liegt. Durch extreme Ausreißer, kann nämlich die Aussagekraft des Durchschnittsgehalts extrem verzerrt werden. So ist es denk ich auch hier. Wichtiger wäre nicht der Erwartungswert, sondern die Wahrscheinlichkeit, in absehbarer Zeit in die Gewinnzone zu kommen. Und die ist für höhere Einsätze praktisch nicht gegeben. (nicht signierter Beitrag von 81.10.151.214 (Diskussion) 14:38, 17. Aug. 2012 (CEST))

Revert: keine Verbesserung

@JonskiC:: Bei meiner Verbesserung des Artikels habe ich mir schon etwas gedacht. Erstens finde ich den Hinweis, daß Teilnahmegebühr unabhängig von der Auszahlung ist, schon hilfreich. Denn oft stehen Einsatz und möglicher Gewinn in einem festen Verhältnis. Das erkennt vielleicht nicht jeder sofort an der feinen Unterscheidung Teilnahmegebühr – Einsatz. Ich jedenfalls mußte erst überlegen, was genau paradox ist.

Zur zweiten Änderung ("Gemäß einer Entscheidungstheorie, die auf dem Erwartungswert basiert, sollte man daher ..."): Das "daher" bezieht sich auf den Erwartungswert (2 Sätze vorher). Zum direkten Satz vorher, der die geringe Wahrscheinlichkeit eines hohen Gewinns beschreibt, paßt es nicht.

Vielleicht kannst Du den Lesefluß und die Verständlichkeit anders verbessern. Die Revertierung ist zwar bequem, aber auch keine Verbesserung. 91.54.45.34 12:50, 15. Apr. 2018 (CEST)

Menger lag Falsch

IM Artikel heisst es "Allgemein kann man für jede unbeschränkte Nutzenfunktion eine Variante des Sankt-Petersburg-Paradoxon finden, die einen unendlichen Wert liefert, wie von dem österreichischen Mathematiker Karl Menger als erstem bemerkt wurde"

Jedoch lag Karl Menger falsch, wie die englische Wikipedia festellt "A commonly held incorrect belief is that the lottery can easily be changed such that the paradox reappears in Bernoulli's treatment. The argument is due to Menger (Menger 1934) and was endorsed by Samuelson (Samuelson 1977) as a "quantum jump in analysis". Menger had claimed that the (even larger) payoff e2k would again make the game worth an infinite amount, and that more generally, one can find a lottery that allows for a variant of the St. Petersburg paradox for every unbounded utility function. Substituting the corresponding parameters in the equation for {\displaystyle \Delta E(U)} {\displaystyle \Delta E(U)} above immediately shows that this is not correct: the expression becomes negative at a finite value of {\displaystyle c} c (Peters & Gell-Mann 2016)."

oder folgende Quellen http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/369/1956/4913 https://arxiv.org/abs/1110.1578 https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.4940236

Dieser – leider unsignierte Beitrag – enthält einen Hinweis auf die englische Wikipedia, der sich nicht verifizieren lässt.

Zu einer Nutzenfunktion $u:(0,\infty )\to \mathbb {R}$, die konkav und unbeschränkt ist, lässt sich eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit positiven Werten angeben, so dass $\mathbb {E} [u(X)]=\infty$ gilt; das ist trivial. Für eine Lotterie mit Auszahlung $X$ müsste alo ein Individuum, das mit dieser Nutzenfunktion Bernoulli-Nutzen maximiert, bereit sein, jeden endlichen Betrag zu zahlen. Also löst das Bernoulli-Prinzip mit konkaver, aber unbeschränkter Nutzenfunktion diesen wesentlichen Aspekt des Paradox nicht auf. Karl Menger lag nicht falsch.--Sigma^2 (Diskussion) 15:38, 29. Aug. 2022 (CEST)

Endliches Kapital

Warum wird hier nur der Geldvorrat des Kasinos beachtet? Statistisch ist es doch selbst bei geringem Einsatz schon viel wahrscheinlicher, dass der Spieler pleite geht bevor er so glücklich wäre den gesamten Geldvorrat des Kasions zu erspielen. --31.17.252.84 19:00, 20. Jun. 2022 (CEST)

Der Spieler zahlt den Einsatz nur einmal.--Sigma^2 (Diskussion) 14:45, 29. Aug. 2022 (CEST)

Beschreibung des Spiels

• Durch problematische Verwendung des Begriffs Gewinn für die Auszahlung ist die Darstellung kaum verständlich. Gewinn = Auszahlung - Einsatz. Über die Höhe des Einsatzes wird nichts gesagt.
• Die Formel über den Erwartungswert ist falsch.

${\frac {1}{2}}\cdot 0+{\frac {1}{4}}\cdot 1+{\frac {1}{8}}\cdot 2+\dotsb ={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+\dots \neq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot 2^{k-1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\dots$,

auch wenn sich in beiden Fällen der Grenzwert $\infty$ ergibt. Von einer Auszahlung 0 steht nichts in der Spielbeschreibung. Wenn beim ersten, zweiten, dritten,... Mal Kopf kommt, wird 1, 2, 4, ... ausgezahlt.

• Die Interpretation: "im Mittel erwartet man daher einen unendlichen hohen Gewinn" ist nicht nachvollziehbar. In diesem Fall ist der Erwartungswert $\infty$ kein "Mittelwert", er ist größer als jede (!) der möglichen Realisationen der Zufallsvariablen in $\{1,2,4\dots \}$. --Sigma^2 (Diskussion) 17:16, 23. Sep. 2022 (CEST)