Diskussion:Satz von Dedekind

Beweis des Satzes nach Meyberg?

Der hier wiedergegebene Beweis geht nicht auf Kurt Meyberg zurück, er ist uralt. Van der Waerden schreibt diesen Beweis Emil Artin zu, siehe van der Waerden, Algebra 1, §54, der Unabhängigkeitssatz. Ich werde den Hinweis auf Meyberg daher entfernen. Müssen wir den Beweis überhaupt hier wiedergeben?--FerdiBf (Diskussion) 13:30, 13. Jun. 2015 (CEST)

Lemma des Artikels

Das Lemma des Artikels "Satz von Dedekind" finde ich sehr fragwürdig. Im Meyberg steht der Name Dedekind in Klammern beim Satz, so dass es sich bestenfalls um "einen" Satz von Dedekind handelt. Als "Satz von Dedekind" gilt z.B. die Eindeutigkeit der natürlichen Zahlen bis auf Isomorphie (Definition mittels Peano-Axiome in der Prädikatenlogik 2ter Ordnung); ferner gibt es einige andere Sätze, die dieses Prädikat tragen aber für den hier vorliegenden Satz habe ich diese Bezeichnung noch nicht gesehen. Daher würde ich vorschlagen, diesen Artikel nach Unabhängigkeitssatz zu verschieben.--FerdiBf (Diskussion) 13:47, 13. Jun. 2015 (CEST)

Hallo FerdiBf!

1) Ich halte den Beweis für schöne Mathematik, die man ruhig zeigen sollte, zumal hier nicht viel vorausgesetzt wird und der ganze Beweisgang sehr einleuchtend ist. Also ein klares "Ja" zu Deiner obigen Frage.

2) Was die Überschrift "Beweis des Satzes nach Meyberg" angeht, so fand ich sie nur angemessen, weil ich ihn bei Meyberg entnommen habe. Dass er so ähnlich auch bei van der Waerden für den Unabhängigkeitssatz steht, wusste ich noch gar nicht. Gegen Deine Änderung habe ich keine Einwände. Wenn Du Dir sicher bist, dass der Beweis auf Artin zurückgeht, sollte man übrigens selbstverständlich erwähnen und ebenso den Zusammenhang mit dem Unabhängigkeitssatz. Es wäre schön, wenn Du dies nachtrügest.

3) Diesen Artikel nach Unabhängigkeitssatz zu verschieben, halte ich nicht für angemessen. Meyberg schreibt diesen Satz unzweideutig Dedekind zu und nach meinem Dafürhalten ist Meyberg eine sehr zuverlässige Quelle. Angesichts Deines Arguments würde ich nun aber auch ein Lemma wie "Satz von Dedekind (Galoistheorie)" für passender halten. Es entspräche damit ebenfalls der Darstellung im Meyberg.

--Schojoha (Diskussion) 19:38, 13. Jun. 2015 (CEST)

1) Ja, schöne Mathematik.

2) Wenn Du den Beweisgang aus Meyberg übernommen hast (das war ja wohl so), so kann und muss man das durch eine Ref kenntlich machen. Der Überschrift "Beweis des Satzes nach Meyberg" suggerierte, dass der Beweis auf Meyberg zurückgeht. Das wollte ich durch die Änderung verhindern, und darin stimmen wir ja überein.

3) Meyberg halte ich mathematisch auch für zuverlässig. Meyberg schreibt ausdrücklich nicht "Satz von Dedekind", sondern nur "Satz 7.1.1 (Dedekind)", anders als etwa beim "Lemma von Schur", bei dem die Bezeichnung unstrittig wäre. Außerdem gibt Meyberg keine Literaturquelle an. Ich kenne keine Quelle, in der diese Aussage tatsächlich "Satz von Dedekind" genannt wird. Eine solche Quelle wäre noch anzugeben, und dazu taugt Meyberg nicht. Wenn man "Satz von Dedekind" googelt, dann findet man diesen Wikipedia-Artikel und als weiteren Treffer das hier, was die oben erwähnten Peano-Axiome betrifft. Daher halte ich das Lemma für unglücklich. Die Verschiebung auf ein Klammer-Lemma wäre eine Möglichkeit, aber was spricht gegen die von van der Waerden verwendete Bezeichnung Unabhängigkeitssatz?--FerdiBf (Diskussion) 14:35, 14. Jun. 2015 (CEST)

Zu den Punkten 1 und 2 habe ich nichts weiter anzumerken.

Zu Punkt 3:

Meyberg ist in der Tat zuverlässig. Zu meinem Bedauern macht er keine weiteren Quellenangaben, was ein gewisser Mangel ist. Aber dennoch: Meyberg weist das Resultat Dedekind zu; und dies in Kenntnis der Werke von van der Waerden und Artin, wenn man seine Literaturangaben in der Algebra 1 (Hanser 1975) in Rechnung stellt. Dabei nennt er den Satz eben nicht "Unabhängigkeitssatz" , wie es van der Waerden tut. Dies scheint mir zunächst nicht für ein Lemma "Unabhängigkeitssatz" zu sprechen.

Zudem verweist Meyberg bei dem Satz auch nicht auf Artin, den er an anderer Stelle in seine beiden Algebrabänden mehrmals nennt. Als ich dann in Artins Büchlein Galoissche Theorie (Harri Deutsch 1968) auf S. 28 nachschlug, wo es um den entsprechenden Satz zu Gruppencharakteren geht, fand ich auch keine anderslautende Autorenangabe. Ich halte es angesichts dessen sehr wohl für denkbar, dass Dedekind und Artin unabhängig voneinander den gleichen Gedanken mit ähnlichen Beweisen hatten. So etwas kam ja schon vor, dass zwei Mathematiker bei gleichen Fragestellungen gleiche Ideen haben. Leider macht auch Artin in seinem Büchlein nur äußerst spärlich Autorenangaben und daher bin ich mir nicht im Klaren, ob er den Satz nun selbst entdeckt oder übernommen hat. Sicher ist aber, dass Artin den Satz ebenfalls nicht "Unabhängigkeitssatz" nennt, was mir ein weiteres Mal gegen ein solches Lemma zu sprechen scheint.

Schließlich habe ich dann noch die Dedekinds Gesammelte mathematische Werke durchgeblättert, habe aber den Satz leider nicht gefunden. Das wiederum spricht ein wenig gegen das Lemma "Satz von Dedekind", wie ich einräume.

Fazit: Die Lage ist undurchsichtig. Vielleicht sollten wir noch Drittstimmen einholen.

--Schojoha (Diskussion) 21:20, 15. Jun. 2015 (CEST)

Nachtrag: Wir könnten und sollten die ganze Angelegenheit doch abkürzen. In den letzten beiden Zeilen von S. 88 seiner Algebra 2 (Hanser 1976) zitiert sich Meyberg nämlich selbst und schreibt: (Zitat): "Nach dem Korollar zu 7.1.1 (Satz von DEDEKIND) ..." . Das ist mE nicht zu missdeuten. Angesichts dessen, dass wir darin übereinstimmen, dass Meybergs ein zuverlässiger Mathematiker ist, schlage ich doch vor, es bei dem von mir gewählten Lemma "Satz von Dedekind" zu belassen. Oder bestehst Du auf der Erweiterung "(Galoistheorie)"? --Schojoha--Schojoha (Diskussion) 20:51, 16. Jun. 2015 (CEST)

Nachtrag 2: In der Algebra 2 von P. M. Cohn (2. Auflage 1989, S. 81) erscheint der Satz (in ähnlicher Form) auch, und zwar als Dedekind`s lemma. --Schojoha (Diskussion) 23:49, 17. Jun. 2015 (CEST)

Nachtrag 3: Bei Allenby (Rings, Fields and Groups 1991, S. 295) findet man den Satz in ähnlicher Form ebenfalls und dort heißt er Dedekind's independence theorem, was die Bezeichnung von van der Waerden unterstützt. Ich habe die erwähnten Ergänzungen mit weiteren Quellenangaben nun aufgeschrieben. Bitte schau einmal darüber! Wegen des Lemmas können wir uns, solltest Du noch Einwände haben, dann noch austauschen.--Schojoha (Diskussion) 23:31, 18. Jun. 2015 (CEST)

Danke für Deine Bemühungen. Damit wäre doch "Unabhängigkeitssatz von Dedekind" das naheliegendste Lemma. Wenn der oben erwähnte Satz über Peano-Systeme demnächst kommt (das könnte ich mir sehr gut vorstellen), dann muss das bestehende Lemma ohnehin präzisiert werden, es könnte dann nur als BKL verbleiben. --FerdiBf (Diskussion) 19:46, 19. Jun. 2015 (CEST)

Gern geschehen. Übrigens möchte ich auch zurückdanken. Dank Deiner Einlassung habe ich dann noch einmal die Literatur gesichtet, was dem Artikel nur gut tat.

Eine Anmerkung noch: Ich war von vornherein überzeugt, dass Meyberg aus gutem Grunde und in Kenntnis der Hintergründe den Namen Dedekinds mit dem Satz verknüpft hat. Die Art und Weise, wie er das tat, nämlich einfach mittels Klammerhinweis und ohne weitere Quellenangaben, war früher gar nicht selten. Meyberg ist eben Lehrbuchschreiber der alten Schule. Die alte Schule hat sich meist kurz gefasst und nur das Wesentliche gebracht - ich denke, im Vertrauen darauf, dass man ihnen abnahm, dass ihre Sache verstanden. Ein Paradebeispiel dafür ist etwa auch das klassische Topologielehrbuch von Schubert.

--Schojoha (Diskussion) 19:55, 20. Jun. 2015 (CEST)

Nachtrag: Ich habe den Artikel nun mit dem neuen Lemma Unabhängigkeitssatz von Dedekind versehen und die von Dir angeregte BKL vorbereitet. --Schojoha (Diskussion) 20:34, 20. Jun. 2015 (CEST)

Danke, --FerdiBf (Diskussion) 18:06, 21. Jun. 2015 (CEST)