Epanechnikov-Kern

Zeichnung des Epanechnikov-Kerns

Der Epanechnikov-Kern (nach W. A. Jepanetschnikow) ist derjenige Kern, der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:

1. $k(x)\geq 0$ für alle $x\in \mathbb {R}$
2. $\int k(x)\,{\mathrm {d} }x=1$
3. $\int x^{2}k(x)\,{\mathrm {d} }x=1$
4. $\int k^{2}(x)\,{\mathrm {d} }x$ wird minimiert.

Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers. Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form $a+bx^{2}$.

Wir wollen die numerischen Faktoren $a,b$ des Kerns in Kontext setzen. Betrachte dazu zunächst die normierte Familie $k_{n,d}(x)$, dessen Terme im Interval $[-d,d]$ eine Hügelform annehmen und welche für große n gegen die rechteckige Verteilung der Höhe ${\tfrac {1}{2d}}$ konvergiert:

$k_{n,d}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2d}}\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)\left(1-\left({\frac {x}{d}}\right)^{2n}\right)&,|x|\leq d\\0&,|x|>d\end{cases}}$

Für diese gilt

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}k_{n,d}(x)\,{\mathrm {d} }x={\frac {d^{2n}}{4n+1}}.$

Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral für $n=1$ auf Eins. Für $\left({\tfrac {d}{\sqrt {4+1}}}\right)^{2}=1$ wählen wir also $k_{E}:=k_{1,{\sqrt {5}}}$:

$k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4{\sqrt {5}}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{5}}\right)&,|x|\leq {\sqrt {5}}\\0&,|x|>{\sqrt {5}}\end{cases}}$

Mitunter wird auch der Kern mit $d=1$ als Epanechnikov-Kern bezeichnet, der dementsprechend die Eigenschaft 3 nicht erfüllt:

$k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4}}(1-x^{2})&,|x|\leq 1\\0&,|x|>1\end{cases}}$

Weblinks

• Beweis der Eigenschaften des Epanechnikov-Kerns (PDF-Datei; 66 kB)