Träger (Mathematik)

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In der Mathematik bezeichnet der Träger (manchmal auch Support) meist die abgeschlossene Hülle der „Nichtnullstellenmenge“ einer Funktion oder anderer Objekte.

Analysis[Bearbeiten]

Träger einer Funktion[Bearbeiten]

Der Träger von f wird meist mit \operatorname{supp}(f) bezeichnet.

Sei A ein topologischer Raum und f\colon A \to \mathbb{R} eine Funktion. Der Träger von f besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von f, formal:


\operatorname{supp}(f) :=
\overline{\{x\in A \mid f(x)\ne 0\}}

Träger einer Distribution[Bearbeiten]

Sei \Omega eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^d und T \in \mathcal{D}'(\Omega) eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt x_0 \in \Omega zum Träger von T gehört, und schreibt x_0 \in \mathrm{supp}(T), wenn für jede offene Umgebung U \subset \Omega von x_0 eine Funktion \phi \in \mathcal{D}(U) existiert mit \; T(\phi) \neq 0.

Falls T eine reguläre Distribution T=T_f mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Träger eines Borelmaßes[Bearbeiten]

Der Träger eines positiven Borelmaßes auf einem topologischen Raum ist das Komplement der größten offenen Menge mit Maß 0.

Beispiele[Bearbeiten]

Ist f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = x, dann ist \operatorname{supp}(f) = \mathbb{R}, denn die Nichtnullstellenmenge von f ist \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}, deren Abschluss ganz \mathbb{R} ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = 1, falls \left| x \right| < 1, sonst 0, dann ist \operatorname{supp}(f) die Menge \left\{ x : \left| x \right| \leq 1 \right\}.

Ist \chi_\mathbb{Q} die charakteristische Funktion von \mathbb{Q}: \chi_\mathbb{Q}(x) = 1, falls x \in \mathbb{Q}, und \chi_\mathbb{Q}(x) = 0, falls  x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, dann ist der Träger \mathbb{R}, also der Abschluss von \mathbb{Q}.

Sei U eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^d. Die Menge aller stetigen Funktionen von U nach \mathbb{R} mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit C_0 (U) bezeichnet wird.

Die Menge C_0^\infty (U) aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in U spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution \delta (f) := f(0) hat den Träger \left\{ 0 \right\}, denn mit \omega := \mathbb{R}^d \setminus \left\{ 0 \right\} gilt: Ist f aus C_0^\infty ( \omega ), dann ist \delta (f) = 0.

Garbentheorie[Bearbeiten]

Es sei F eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum X.

Träger eines Schnittes[Bearbeiten]

Für eine offene Teilmenge U\subseteq X und einen Schnitt s\in\Gamma(U,F) heißt die Menge derjenigen Punkte x\in X, für die das Bild von s im Halm F_x ungleich null ist, der Träger von s, meist mit \mathrm{supp}\,s oder |s| bezeichnet.

Der Träger eines Schnittes ist stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe[Bearbeiten]

Der Träger von F selbst ist die Menge der Punkte x\in X, für die der Halm F_x ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur[Bearbeiten]

  • Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.