Kan-Komplex

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Kan-Komplexe ein Hilfsmittel zur kombinatorischen Definition von Homotopiegruppen.

Definition[Bearbeiten]

Der violette 2-Simplex \sigma hat die schwarzen Kanten \tau_0,\tau_2 als Ränder: \partial_0\sigma=\tau_0,\partial_2\sigma=\tau_2.

Eine simpliziale Menge ist ein Kan-Komplexe, wenn sie die Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

für alle n\in\mathbb N, 0\le k\le n+1 und jede (n+1)-elementige Menge \left\{\tau_0,\ldots,\tau_{k-1},\tau_{k+1},\ldots\tau_{n+1}\right\} von n-Simplizes mit \partial_i\tau_j=\partial_{j-1}\tau_i für alle i<j gibt es ein (n+1)-Simplex \sigma mit \partial_i\sigma=\tau_i für i=0,\ldots,k-1,k+1,\ldots,n+1.

Homotopiegruppen[Bearbeiten]

D. M. Kan[1] gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.

Beispiel: der singuläre Kettenkomplex[Bearbeiten]

Sei X ein topologischer Raum und S_*(X) sein singulärer Kettenkomplex: die n-Simplizes von S_*(X) sind die stetigen Abbildungen des Standard-n-Simplexes nach X.

S_*(X) ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den Homotopiegruppen von X überein.

Literatur[Bearbeiten]

  • J. Peter May: Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Daniel Marinus Kan: A combinatorial definition of homotopy groups. In: Ann. of Math. (2) 67 1958, S. 282–312.