Probit-Modell

In der Statistik ist das Probitmodell eine Spezifikation eines generalisierten linearen Modells und verwendet eine Probit-Link-Komponente. Probitmodelle wurden von Chester Bliss eingeführt.

Anwendung

Probitmodelle werden wie Logitmodelle dazu verwendet, binäre Zielvariablen zu modellieren, also Größen die nur zwei Werte annehmen können. Beispiele: „Kauft ein Produkt – Ja/Nein“, „Lässt sich scheiden – Ja/Nein“, „Hat Abitur – Ja/Nein“.

Definition und Schätzung

Weil die Response eine Reihe von binomialen Werten darstellt, ist die Likelihood der Annahme unterworfen, dass sie einer Binomialverteilung folgt. Sei $Y$ die Response und $X$ der Vektor der erklärenden Variablen. Das Probitmodell hat die Annahme, dass gilt

$\Pr(Y=1|X=x)=\Phi (x_{i}'\beta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x_{i}'\beta }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t$

wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung bezeichnet. Der Parametervektor $\beta$ wird typischerweise mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt.

Das Probitmodell kann durch ein einfaches latentes Variablenmodell erhalten werden. Unter der Annahme, dass

$y^{*}=x_{i}'\beta +\epsilon$,

wobei die Fehlerterme einer Normalverteilung folgen ($\epsilon \sim {\mathcal {N}}(0,1)$), und dass $Y$ einen Indikator dafür darstellt, ob die latente Variable $y^{*}$ positiv ist:

$Y\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;1\Leftrightarrow y^{*}>0$.

Dann kann man zeigen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:

$\Pr(Y=1|X=x)=\Phi (x'\beta )$