Rieszscher Darstellungssatz

Der Rieszsche Darstellungssatz (nach Frigyes Riesz) ist in der Mathematik eine Aussage der Funktionalanalysis, die den Dualraum bestimmter Banachräume charakterisiert. Da Riesz an mehreren solchen Sätzen beteiligt war, werden verschiedene Sätze als Rieszscher Darstellungssatz bezeichnet. Meistens ist jedoch der Satz von Riesz-Markov gemeint.

Motivation

In der Funktionalanalysis gewinnt man Informationen über die Struktur von Banachräumen aus dem Studium linearer, stetiger Funktionale. So erlaubt beispielsweise der Trennungssatz, mit ihrer Hilfe konvexe Mengen voneinander zu trennen. Es ergibt sich damit als natürliche Aufgabe, den Raum aller solchen Funktionale – den Dualraum – näher zu studieren.

Dualräume von Banachräumen sind stets selbst Banachräume und nach dem Satz von Hahn-Banach nicht trivial: Das Funktional $x \mapsto 0$ ist offenbar immer stetig und der Satz sichert die Existenz weiterer stetiger Funktionale zu. Es ist nun eine naheliegende Idee, nach (isometrischen) Isomorphismen zwischen einem gegebenen Dualraum und einem bekannten, greifbaren Raum zu suchen.

Im endlichdimensionalen ist es meist leicht, Dualräume zu charakterisieren: Betrachte als Beispiel ein Funktional $f$ aus dem Dualraum von $\R^2$, den man als $(\R^2)'$ bezeichnet. Nach Ergebnissen der linearen Algebra lässt es sich darstellen als Multiplikation mit einer Matrix

$x \mapsto \begin{pmatrix} f_1 & f_2 \end{pmatrix} x$

und folglich mithilfe des (Standard-)Skalarproduktes auch als

$x \mapsto \langle \vec f, x \rangle$

Man sieht nun leicht ein: Die Abbildung

$\begin{align} \Phi: \R^2 &\to (\R^2)' \\ \vec f &\mapsto \langle \vec f, \cdot \rangle \end{align}$

ist bijektiv und isometrisch. Mithilfe von $\Phi$ können wir also den Dualraum des $\R^2$ mit dem $\R^2$ selbst identifizieren.

Der Satz von Fréchet-Riesz verallgemeinert diese Erkenntnis auf allgemeine Hilberträume, während der Satz von Riesz-Markov den Dualraum von $C^0(K)$, den Raum der stetigen Funktionen auf einem kompakten, metrischen Raum $K$, charakterisiert. Eine weitere bekannte, mit dem Namen Riesz verbundene Dualitätsbeziehung ist die Identifizierung der Dualräume von $L^p$-Räumen mit den Räumen $L^q$, wobei $\scriptstyle \frac1p + \frac1q = 1$, siehe Dualität von $L^p$-Räumen.

Der Satz von Fréchet-Riesz

Sei $H$ ein Hilbertraum. Dann existiert zu jedem stetigen Funktional $x' \in H'$ genau ein $y \in H$, sodass gilt:

$\begin{align} x'(x) & = \langle x, y \rangle~~\forall\,x\in H \\ \|x'\| & =\|y\| \end{align}$

Umgekehrt ist für gegebenes $y \in H$ die Abbildung

$x\mapsto \langle x, y \rangle$

ein stetiges Funktional mit Operatornorm $\|y\|$.

Der Beweis beruht auf dem Satz von der Orthogonalprojektion, der besagt, dass für jeden abgeschlossenen Unterraum $U$ eines Hilbertraumes eine Orthogonalprojektion $P$ in eben diesen existiert, sodass $\operatorname{ker} P = U^\perp$. Mit diesem Satz kann man schließlich das Lemma von Lax-Milgram beweisen, welches eine zufriedenstellende Existenztheorie für viele partielle Differentialgleichungen sichert.

Der Satz von Riesz-Markov

Der Satz von Riesz-Markov charakterisiert den Dualraum der stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum. Er stellt die stetigen linearen Funktionale als Integral dar. Konkret besagt er:

$K$ sei ein kompakter Hausdorffraum und $F: C(K) \to \C$ ein stetiges Funktional. Dann existiert ein eindeutiges reguläres Borelmaß $\mu$ auf $K$, so dass

$F(f) = \int_K f(x) ~d\mu(x)$

für alle $f\in C(K)$ erfüllt ist. Umgekehrt ist durch

$f \mapsto \int_K f(x) ~d\mu(x)$

bei einem gegebenen regulären Borelmaß $\mu$ auf $K$ ein stetiges Funktional definiert.

Der Beweis zeigt sogar $C(K)' \cong M(K)$, wobei $M(K)$ der (Banach-)Raum der regulären Borelmaße auf $K$ mit Variationsnorm ist.

Dualität von L^p-Räumen

→ Hauptartikel: Dualität von $L^p$-Räumen

Der Satz von Fréchet-Riesz kann, da jeder Hilbertraum zu einem $L^2$-Raum isomorph ist, als Satz über $L^2$-Räume angesehen werden. Er lässt sich auf $L^p$-Räume verallgemeinern. Dieser in Kurzform $(L^p)\,'\cong L^q$ lautende Satz wird oft als Satz von Riesz, seltener als Rieszscher Darstellungssatz, zitiert.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 
• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York Juni 2006, ISBN 978-3-540-34186-4.
• Friedrich Sauvigny: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik. Grundlagen und Integraldarstellungen. 1, Springer, 2004, ISBN 3-540-20453-9.