Satz von Jung

Der Satz von Jung (benannt nach Heinrich Jung) macht eine Aussage darüber, wie groß eine Kugel in einem $n$-dimensionalen Raum sein muss, die eine vorgegebene Menge von Punkten einschließt.

Formulierung

Es seien endlich viele Punkte $a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{R}^n$ gegeben, und es sei $d := \max\nolimits_{i,j = 1, \dots, k} \| a_i - a_j \|_2$ der maximale Euklidische Abstand zweier Punkte.

Der Satz von Jung besagt, dass es eine $n$-dimensionale Kugel mit einem Radius $r \leq d \sqrt{\tfrac{n}{2(n+1)}}$ gibt, so dass alle Punkte $a_1, a_2, \dots, a_k$ innerhalb der Kugel (den Rand eingeschlossen) liegen.

Weiterhin ist der Mittelpunkt der Kugel mit kleinstmöglichem Radius eindeutig bestimmt.

Spezialfall einer Ebene

Am bekanntesten ist der Fall von Punkten in der Ebene, d.h. $n = 2$. In diesem Fall besagt der Satz von Jung, dass der Radius $r \leq d/\sqrt{3}$ ist.

Für die drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks benötigt man genau diesen Radius.

Literatur

• Heinrich Jung: Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt, J. Reine Angew. Math. 137 (1910), 310 -- 313
• Hans Rademacher und Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren (Proben mathematischen Denkens für Liebhaber der Mathematik), Springer-Verlag 2000 (Nachdruck der 2. Auflage von 1933), ISBN 3-540-63303-0, 14. Kapitel