Satz von Rolle

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Ist eine reellwertige Funktion f mit f(a)=f(b) stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b), so gibt es ein x_0\in(a,b), so dass f'(x_0)=0 gilt.

Aussage[Bearbeiten]

Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Er trifft eine Aussage über eine stetige Funktion f:[a,b]\to\R, die im offenen Interval (a,b) differenzierbar ist. Erfüllt eine solche Funktion f(a) = f(b), so gibt es eine Stelle x_0\in(a,b) mit

f '(x_0) = 0.

Interpretation[Bearbeiten]

Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion f gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden y-Werten mindestens einen Kurvenpunkt mit der Steigung m = 0, also mit waagrechter Tangente. Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.

Der Mittelwertsatzes der Differentialrechnung ist eine Erweiterung des Satzes von Rolle. Der Mittelwertsatz lässt sich mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen.

Beweis[Bearbeiten]

Da f über dem kompakten Intervall [a, b] stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz von Weierstraß) an einer Stelle m\in[a,b] ein Minimum und an einer Stelle M\in[a, b] ein Maximum an. Ist f nicht konstant, so ist entweder m\in(a,b) oder M\in(a,b). Diese Extremalstelle sei mit x_0 bezeichnet. Ist f konstant, so beschreibt x_0=\frac{a+b}2 eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls (a,b).

Ist die innere Extremalstelle x_0 eine Maximalstelle, so folgt aus der Differenzierbarkeit von f an der Stelle x_0, dass

f'(x_0)=\lim_{h\searrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\leq 0
f'(x_0)=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\geq 0

Somit ist f'(x_0)=0.

Ist x_0 eine Minimalstelle von f, so ist x_0 eine Maximalstelle von -f und wir erhalten -f'(x_0)=0 und somit f'(x_0)=0.

Literatur[Bearbeiten]