Siegel-Scheibe

Siegel-Scheiben der Abbildung $f(z)=z^{2}+e^{2\pi i{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}z$

In der Mathematik sind Siegel-Scheiben ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Definition

Sei $f\colon S\to S$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen. Eine Zusammenhangskomponente $U$ der Fatou-Menge ${\mathcal {F}}(f)$ heißt Siegel-Scheibe um $z_{0}\in U$, wenn es eine biholomorphe Abbildung $\phi \colon U\to D$ auf die Einheitskreisscheibe $D$ mit $\phi (z_{0})=0$ gibt, so dass $\phi f\phi ^{-1}$ eine irrationale Drehung, also $\phi f\phi ^{-1}(z)=e^{2\pi i\alpha }z$ für ein $\alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ist.

Die Frage, ob es zu gegebenem $f$ und $z_{0}$ eine Siegel-Scheibe gibt, wird in älterer Literatur als Zentrumsproblem bezeichnet.

Sätze von Siegel und Brjuno

Damit es eine Siegel-Scheibe geben kann, muss die Rotationszahl $f^{\prime }(z_{0})$ von der Form $e^{2\pi i\alpha }$ mit einer irrationalen Zahl $\alpha$ sein.

Siegel bewies 1942, dass es eine Siegel-Scheibe gibt, wenn man Konstanten $C>0$ und $\nu \geq 2$ findet, so dass $\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \geq {\frac {C}{q^{\nu }}}$ für alle rationalen Zahlen ${\frac {p}{q}}$ gilt.

Rüßmann und Brjuno verbesserten diese arithmetische Bedingung Ende der 1960er Jahre.

Satz von Brjuno: Es gibt eine Siegel-Scheibe, wenn für die Folge ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ in der Kettenbruchentwicklung von $\alpha$ gilt: $\sum _{n}{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}<\infty$. (Solche Zahlen werden als Brjuno-Zahlen bezeichnet.)

Yoccoz bewies 1988, dass Brjunos Bedingung optimal ist. Zu jeder Zahl $\alpha$, die keine Brjuno-Zahl ist, ist $f(z)=z^{2}+e^{2\pi i\alpha }z$ eine nicht-linearisierbare holomorphe Funktion.

Literatur

• Carl Ludwig Siegel: Iteration of analytic functions, Ann. Math. 43, 607–612 (1942)
• Alexander D. Brjuno: Analytic form of differential equations. I, II, Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva 25, 119–262 (1971)
• Jean-Christophe Yoccoz: Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques, Petits diviseurs en dimension 1, Astérisque 231, 3–88 (1995)

Weblinks

• Scholarpedia: Siegel disks/Linearization