Treppenfunktion

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Beispiel einer Treppenfunktion

Eine Funktion f: X\rightarrow Y auf einem Intervall X\,\subseteq \R heißt Treppenfunktion (oder fälschlicherweise auch einfache Funktion oder Elementarfunktion), wenn es disjunkte Intervalle X_1, \ldots, X_n gibt, so dass

X = \bigcup_{i = 1}^n X_i

und f auf den Intervallen X_1, \ldots, X_n konstant ist.

Treppenfunktionen benutzt man auch zur Approximation von Integralen. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch

\int_X f(x) \mathrm dx = \sum_{i = 1}^n  y_i \ell(X_i)

definiert. Der Vorteil ist hier, dass man ohne Grenzwertprozess auskommt und nur endliche Summen hat. In der Summenformel bezeichnet y_i den Wert von f auf dem Intervall X_i sowie \ell(X_i) die Länge dieses Intervalls, also zum Beispiel für X_i = [a_i, b_i] die Differenz \ell(X_i) = b_i - a_i.

Bereits durch die einfache Definition des Integrals einer Treppenfunktion hat man ein starkes mathematisches Hilfsmittel gewonnen: Jede beschränkte, stetige Funktion f: D \rightarrow Y mit D, Y\subseteq \R, kann beliebig genau durch eine Treppenfunktion approximiert werden. Also kann auch das Integral dieser Funktion beliebig genau approximiert werden. Diese Tatsache ist ein wichtiges Fundament für die Definition des Riemann-Integrals. Auf diese Weise hat Jean Gaston Darboux die Einführung des Riemann-Integrals vereinfacht.

Beispiele[Bearbeiten]

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