Treppenfunktion

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Beispiel einer Treppenfunktion

Eine Funktion $f: X\rightarrow Y$ auf einem Intervall $X\,\subseteq \R$ heißt Treppenfunktion (oder auch fälschlicherweise einfache Funktion oder Elementarfunktion), wenn es disjunkte Intervalle $X_1, \ldots, X_n$ gibt, so dass

$X = \bigcup_{i = 1}^n X_i$

und $f$ auf den Intervallen $X_1, \ldots, X_n$ konstant ist.

Treppenfunktionen benutzt man auch zur Approximation von Integralen. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch

$\int_X f(x) \mathrm dx = \sum_{i = 1}^n \ell(X_i) y_i$

definiert. Der Vorteil ist hier, dass man ohne Grenzwertprozess auskommt und nur endliche Summen hat. In der Formel bezeichnet $\ell(X_i)$ die Länge des Intervalles $X_i$ , also zum Beispiel für $X_i = [a_i, b_i]$ ist $\ell(X_i) = b_i - a_i$ . Mit $y_i$ bezeichnen wir den Wert von $f$ auf dem Intervall $X_i$ .

Bereits durch die einfache Definition des Integrals einer Treppenfunktion hat man ein starkes mathematisches Hilfsmittel gewonnen: Jede beschränkte, stetige Funktion $f: D \rightarrow Y$ , $D$ , $Y\subseteq \R$ , kann beliebig genau durch eine Treppenfunktion approximiert werden. Also kann auch das Integral dieser Funktion beliebig genau approximiert werden. Diese Tatsache ist ein wichtiges Fundament für die Definition des Riemann-Integrals. Auf diese Weise hat Jean Gaston Darboux die Einführung des Riemann-Integrals vereinfacht.