Windungszahl

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Dieser Artikel erläutert Topologie, zu Maßzahlen der Geometrie siehe Windung (Geometrie).

Die Windungszahl (auch Umlaufzahl oder Index genannt) ist eine topologische Invariante, die eine entscheidende Rolle in der Funktionentheorie spielt.

Vorbetrachtung[Bearbeiten]

Die Windungszahl einer Kurve \gamma in Bezug auf einen Punkt z_0 stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um z_0 dar, wenn man dem Verlauf der Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt eine negative Windungszahl.

Windungszahl = 1 Windungszahl = -1 Windungszahl = 0 Windungszahl = 1 Windungszahl = 2

Windungszahl = 1

Windungszahl = -1

Windungszahl = 0

Windungszahl = 1

Windungszahl = 2

Definition[Bearbeiten]

Ist \gamma eine geschlossene Kurve in \mathbb C, und ist ferner z_0 ein Punkt in \mathbb C, der nicht auf \gamma liegt, dann ist die Windungszahl von \gamma in Bezug auf z_0 definiert als

\operatorname{ind}_\gamma(z_0) = n(\gamma,z_0) := \frac 1{2\pi\mathrm i} \int_\gamma \frac{\mathrm d\zeta}{\zeta - z_0} \in\Z.

Die Windungszahl ind (nach dem englischen index) wird in der Literatur oft auch mit I oder \chi bezeichnet. Die Windungszahl einer geschlossenen Kurve ist unabhängig vom Bezugspunkt (der nicht auf der Kurve liegen darf) immer eine ganze Zahl.

Berechnung[Bearbeiten]

Windungszahl=2
Windungszahl=0

Intuitiv lässt sich die Windungszahl mittels

\operatorname{ind}_\gamma (z_0)= Anzahl der Umläufe von \gamma um z_0 entgegen dem Uhrzeigersinn - Anzahl der Umläufe von \gamma um z_0 im Uhrzeigersinn

berechnen. Die Berechnung über die Definition ist oft nicht ohne Weiteres möglich. Beginnen kann man, indem man die Kurve auf dem Rand des Einheitskreises

\gamma\colon[0,2\pi]\to\mathbb C, t\mapsto e^{\mathrm it}

betrachtet. Nach der intuitiven Regel ist \operatorname{ind}_\gamma(z)=1 für alle z\in\mathbb E und \operatorname{ind}_\gamma(z)=0 für alle z\in\mathbb C\setminus\bar{\mathbb E}. Letzteres folgt sofort mit dem Integralsatz von Cauchy und der Definition. Sei nun

f\colon\mathbb E\to\mathbb C, z\mapsto \operatorname{ind}_\gamma(z).

Es gilt

\operatorname{ind}_\gamma(0) = f(0) = \frac 1{2\pi\mathrm i}\int_\gamma\frac{\mathrm d\zeta}\zeta = \frac 1{2\pi\mathrm i}\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm ie^{\mathrm it}}{e^{\mathrm it}}\mathrm dt = 1.

Durch Vertauschen von Differentiation und Integration ist

f'(z)=\frac 1{2\pi\mathrm i} \int_\gamma \frac{\mathrm d\zeta}{\left(\zeta - z\right)^2},

und weil \zeta\mapsto -\frac 1{\zeta-z} eine Stammfunktion des Integranden ist, ist f'\equiv 0. Weil \mathbb E zusammenhängend ist, ist also f(z)=\operatorname{ind}_\gamma(z)=1 für alle z\in\mathbb E.

Anwendung in der Funktionentheorie[Bearbeiten]

Die Windungszahl wird vor allem bei der Berechnung von Kurvenintegralen in der komplexen Zahlenebene verwendet. Sei

f\colon\mathbb C\setminus\left\{a_1,\ldots,a_n\right\}\rightarrow\mathbb C

eine meromorphe Funktion mit Singularitäten a_1,\ldots,a_n, dann kann man nach dem Residuensatz das Integral von f über eine (durch keine der Singularitäten verlaufende) Kurve \gamma durch

\int_\gamma fdz=2\pi i \sum_{i=1}^n \operatorname{ind}_\gamma(a_i)Res_{a_i}f

berechnen.

Algorithmus[Bearbeiten]

Windungszahl der Flächen eines nichttrivialen Polygons: Die Windungszahl für die Fläche, in der sich der Punkt befindet, ist -1, d. h. dieser liegt innerhalb des Polygons (graue Fläche). Jede Fläche hat eine feste Windungszahl.

In der algorithmischen Geometrie wird die Windungszahl verwendet, um zu bestimmen, ob ein Punkt außerhalb oder innerhalb eines nichteinfachen Polygons (Polygon, dessen Kanten sich überschneiden) liegt. Für einfache Polygone vereinfacht sich der Algorithmus zur Even-Odd-Regel.

Für Polygone (geschlossene Kantenzüge) verwendet man zur Berechnung der Windungszahl folgenden Algorithmus:

  1. Suche eine Halbgerade (beginnend beim zu untersuchenden Punkt nach außen), die keine Eckpunkte des Polygons enthält.
  2. Setze w=0.
  3. Für alle Schnittpunkte der Halbgerade mit dem Polygonzug:
    • Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, die „von rechts nach links“ orientiert ist (Punkt liegt auf der linken Seite der Kante), erhöhe w um 1.
    • Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, die „von links nach rechts“ orientiert ist (Punkt liegt auf der rechten Seite der Kante), verkleinere w um 1.
  4. w ist nun die Windungszahl des Punktes.

Ist die Windungszahl 0, so liegt der Punkt außerhalb des Polygons, sonst innerhalb.

In nebenstehendem Beispiel ist die Halbgerade, mit der gestartet wird, der senkrechte Pfeil. Er schneidet drei Kanten des Polygons. Bezüglich der roten Kante liegt der Punkt rechts \left(W=-1\right). Bezüglich der nächsten Kante liegt der Punkt auch rechts \left(W=-2\right) und bzgl. der letzten Kante liegt der Punkt links \left(W=-1\right). Der Punkt liegt innerhalb des Polygons. Die Polygonfläche ist grau hinterlegt.

Ein analoger Algorithmus ergibt natürlich auch für nicht geradlinig verlaufende (geschlossene) Kurven die Windungszahl um einen Punkt, allerdings ist da das Überprüfen der Schnittpunkte nicht so einfach zu implementieren.

Verallgemeinerung für n-dimensionale Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung für n-dimensionale Mannigfaltigkeiten stammt von Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow: Unter Benutzung des allgemeinen Stokes'schen Satzes für z_0=0 kann man

\mathrm{ind}_{\gamma}(0) =\frac {1}{n\mathrm{Vol(B)}} \oint_{\gamma }\frac{\vec x\cdot\mathrm d\vec S}{\|x\|^{n}}

schreiben. B ist die Einheitskugel im \mathbb R^n, \gamma ist die betrachtete (n-1)-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit, auf der integriert werden soll.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4