Systematische Auslöschung

Unter Auslöschung versteht man in der Kristallographie das systematische Fehlen von Reflexen bei der Röntgen- oder Neutronenbeugung an Kristallen, welches auf die symmetriebedingte destruktive Interferenz von gebeugten Strahlen zurückzuführen ist. Ursache der systematischen Auslöschungen ist ein mit einem Translationsvektor verbundenes Symmetrieelement der Raumgruppe ( Gleitspiegelebene oder Schraubenachse) oder eine Zentrierung des Bravaisgitters.

Bedeutung

Die systematische Auslöschung hat große Bedeutung für die Strukturaufklärung von Kristallen, da aus ihr Rückschlüsse auf die Symmetrieeigenschaften des Kristalls gezogen werden können. Mit Hilfe der systematischen Auslöschungen kann die Raumgruppe des Kristalls bestimmt werden. Daher sind die Auslöschungsgesetze in den International Tables für die jeweilige Raumgruppe angegeben.

Man unterscheidet zwischen integraler Auslöschung, welche Reflexe im ganzen reziproken Raum betrifft, zonaler Auslöschung, bei der nur Reflexe einer Ebene im reziproken Raum betroffen sind und serieller Auslöschung, bei der nur Reflexe auf einer Geraden im reziproken Raum fehlen.

Beschreibung

Die Beschreibung einer systematischen Auslöschung erfolgt mittels Bragg-Indizes. Es wird einerseits der betroffene Bereich des reziproken Raums angegeben (z.B. hkl für eine integrale Auslöschung, hk0 für eine zonale Auslöschung in der l=0 Ebene, oder 00l für eine serielle Auslöschung in der h=k=0 Geraden). Andererseits wird entweder eine Auslöschungsbedingung (Bedingung für das Fehlen von Reflexen) oder eine Reflexbedingung (Bedingung für das Vorhandensein von Reflexen) gegeben (z.B. h+k=2n, die Summe von h und k muss gerade sein).

Integrale Auslöschung

Integrale Auslöschungen entstehen durch eine Zentrierung des Bravais-Gitters.

Beispiel

In einer innenzentrierten Zelle gibt es zu jedem Atom an beliebiger Position x,y,z ein symmetrisch äquivalentes Atom an der Stelle x+0.5, y+0.5,z+0.5. Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:

$f_{m}e^{2\pi i(hx+ky+lz)}+f_{m}e^{2\pi i(h(x+.5)+k(y+.5)+l(z+.5))}=$

$f_{m}e^{2\pi i(hx+ky+lz)}(1+e^{\pi (h+k+l)})$

$1+e^{\pi (h+k+l)}={\begin{cases}2&{\text{wenn h+k+l gerade}}\\0&{\text{wenn h+k+l ungerade}}\end{cases}}$

Reflexe gibt es daher nur an den Stellen, an denen h+k+l gerade ist.

Folgende Tabelle gibt einen Überblick über den Zusammenhang zwischen den in den Bravaisittern vorkommenden Zentrierungen und den daraus resultierenden Reflexbedingungen.

Zentrierung	Betroffene Reflexe	Reflexbedingung
Primitiv	-	keine Auslöschung
A-zentriert	hkl	k+l=2n
B-zentriert	hkl	h+l=2n
C-zentriert	hkl	h+k=2n
innenzentriert	hkl	h+k+l=2n
Allseitig flächenzentriert	hkl	h+k=2n,h+l=2n,k+l=2n
Rhomboedrisch	hkl	-h+k+l=3n

Zonale Auslöschung

Zonale Auslöschungen entstehen durch Gleitspiegelebenen im Kristall.

Beispiel

Gibt es in einem Kristall eine a-Gleitspiegelebene senkrecht zu c, die durch den Ursprung geht, so gibt es zu jedem Atom m in x,y,z ein symmetrisch äquivalentes in x+0.5,y,-z. Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:

$f(e^{2\pi i(hx+ky+lz)}+e^{2\pi i(hx+ky-lz)}e^{\pi h})$

für l = 0 folgt: $f_{m}(e^{2\pi i(hx+ky)}{1+e^{\pi h}})$

$1+e^{\pi h}={\begin{cases}2&{\text{wenn h gerade}}\\0&{\text{ wenn h ungerade}}\end{cases}}$

Reflexe in der Zone l=0 gibt es nur, wenn h gerade ist.

Folgende Tabelle gibt einen Überblick über den Zusammenhang zwischen den in den Raumgruppen vorkommenden Gleitspiegelebenen und den daraus resultierenden Reflexbedingungen.

Gleitspiegelebene	Lage	Gleitvektor	Betroffene Reflexe	Reflexbedingung
a	(001)	a/2	hk0	h = 2n
b	(001)	b/2	hk0	k = 2n
n	(001)	a/2 + b/2	hk0	h + k = 2n
d	(001)	a/4 +- b/4	hk0	h + k = 4n, h = 2n, k = 2n
a	(010)	a/2	h0l	h = 2n
c	(010)	c/2	h0l	l = 2n
n	(010)	a/2 + c/2	h0l	h + l = 2n
d	(010)	a/4 +- c/4	h0l	h + l = 4n, h = 2n, l = 2n
b	(100)	b/2	0kl	k = 2n
c	(100)	c/2	0kl	l = 2n
n	(100)	b/2 + c/2	0kl	k + l = 2n
d	(100)	b/4 +- c/4	0kl	k + l = 4n, k = 2n, l = 2n

Serielle Auslöschung

Serielle Auslöschungen entstehen durch Schraubenachsen im Kristall

Beispiel

Gibt es in einem Kristall eine Schraubenachse 2₁ parallel c durch den Ursprung, so existiert zu einem Atom m in x,y,z ein symmetrisch äquivalentes in –x,-y,0.5+z. Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:

$f_{m}[e^{2\pi i(hx+ky+lz)}+e^{2\pi i(-hx-ky+lz)}e^{\pi l}$

für h=k=0 gilt: $fme^{2\pi ilz}{1+e^{\pi l}}$

$1+e^{\pi l}={\begin{cases}2&{\text{wenn l gerade}}\\0&{\text{ wenn l ungerade}}\end{cases}}$

In der 00l Richtung gibt es nur dann Reflexe, wenn l gerade ist.

Folgende Tabelle gibt einen Überblick über den Zusammenhang zwischen den in den Raumgruppen vorkommenden Schraubenachsen und den daraus resultierenden Reflexbedingungen.

Schraubenachse	Lage	Betroffene Reflexe	Reflexbedingung
$2_{1}$; $4_{2}$; $6_{3}$	// [100]	h00	h = 2n
$3_{1}$; $3_{2}$; $6_{2}$; $6_{4}$	// [100]	h00	h = 3n
$4_{1}$; $4_{3}$	// [100]	h00	h = 4n
$6_{1}$; $6_{5}$	// [100]	h00	h = 6n
$2_{1}$; $4_{2}$; $6_{3}$	// [010]	0k0	k = 2n
$3_{1}$; $3_{2}$; $6_{2}$; $6_{4}$	// [010]	0k0	k = 3n
$4_{1}$; $4_{3}$	// [010]	0k0	k = 4n
$6_{1}$; $6_{5}$	// [010]	0k0	k = 6n
$2_{1}$; $4_{2}$; $6_{3}$	// [001]	00l	l = 2n
$3_{1}$; $3_{2}$; $6_{2}$; $6_{4}$	// [001]	00l	l = 3n
$4_{1}$; $4_{3}$	// [001]	00l	l = 4n
$6_{1}$; $6_{5}$	// [001]	00l	l = 6n

Literatur

• Schwarzenbach D. Kristallographie Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5
• Hahn, Theo (Hrsg.): International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2