Quelltext der Seite Elektrischer Widerstand

{{Dieser Artikel|betrachtet Widerstand als physikalische Eigenschaft; zu dem gleichnamigen elektrischen Bauelement siehe [[Widerstand (Bauelement)]].}}
{{Infobox Physikalische Größe
|Name= Elektrischer Widerstand
|Formelzeichen= <math>R,\, Z,\, X</math>
|SI= [[Ohm|Ω]]
|SI-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]·[[Länge (Physik)|L]]<sup>2</sup>·[[Stromstärke|I]]<sup>−2</sup>·[[Zeit|T]]<sup>−3</sup>
|Gauß= [[Sekunde|s]]·[[Zentimeter|cm]]<sup>−1</sup>
|Gauß-Dimension= [[Länge (Physik)|L]]<sup>−1</sup>·[[Zeit|T]]
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|Astro-Dimension= 
}}
Der '''elektrische Widerstand''' ist in der [[Elektrotechnik]] ein Maß dafür, welche [[elektrische Spannung]] erforderlich ist, um eine bestimmte elektrische [[Stromstärke]] durch einen [[Elektrischer Leiter|elektrischen Leiter]] ([[Elektrisches Bauelement|Bauelement]], [[Stromkreis]]) fließen zu lassen. Dabei sind [[Gleichgröße]]n zu verwenden oder [[Augenblickswert]]e bei mit der Zeit veränderlichen Größen.<ref>EN 80000-6, ''Größen und Einheiten − Teil 6: Elektromagnetismus'', 2008; Eintrag 6-46.</ref>

Wenn die Spannung von einem Anschlusspunkt A zu einem Anschlusspunkt B gezählt wird, wird die Stromstärke in dem Leiter positiv gezählt, wenn er von A nach B fließt; der Widerstand kann nicht negativ sein.<ref name="IEV">IEC 60050, siehe [https://www2.dke.de/de/Online-Service/DKE-IEV/Seiten/IEV-Woerterbuch.aspx?search=131-12 DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: ''Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch''], Eintrag 131-12-04.</ref>

Als Formelzeichen für den elektrischen Widerstand wird in der Regel <math>R</math> –&nbsp;abgeleitet vom Lateinischen ''resistere'' für „widerstehen“&nbsp;– verwendet. Der Widerstand hat die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-Einheit [[Ohm]], ihr [[Einheitenzeichen]] ist das Ω (großes [[Omega]]).

[[Datei:Spgabfall.svg|mini|[[Schaltzeichen]] gemäß EN 60617;<br />Spannung und Stromstärke haben bei diesen Zählrichtungen dasselbe Vorzeichen]]
Auf historische Zusammenhänge wird im Artikel [[ohmsches Gesetz]] eingegangen.

Auf die [[Widerstandsmessung]] wird in einem eigenen Artikel eingegangen.

== Ohmscher Widerstand ==
{{Hauptartikel|ohmsches Gesetz}}

=== Grundlegende Zusammenhänge ===
Ein elektrischer Widerstand ist dann ein ohmscher Widerstand, wenn sein Wert unabhängig von der Spannung, der Stärke des Stromes und jeglichen [[Widerstand (Bauelement)#Parameterabhängige Widerstände|Parametern]] ist. An einem solchen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz. Wird in einem [[Liniendiagramm]] die Spannung <math>U</math> über der Stromstärke <math>I</math> aufgetragen, entsteht bei einem ohmschen Widerstand eine [[Ursprungsgerade]]; die an einem Bauteil mit ohmschem Widerstand abfallende Spannung ist [[proportional]] zur Stromstärke im Widerstand mit dem Proportionalitätsfaktor <math>R</math>; dieser ist zugleich der Anstieg der Geraden:
:<math>U =R\cdot I\ .</math>

Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement, im einfachsten Fall einen Metalldraht, realisiert werden. Dieses wird üblicherweise ebenfalls als Widerstand –&nbsp;siehe [[Widerstand (Bauelement)]]&nbsp;– bezeichnet.

Wenn durch den Strom im Widerstand ein [[Spannungsabfall]] entsteht, wird [[elektrische Energie]]
in [[thermische Energie]] umgesetzt.

Der Kehrwert des ohmschen Widerstands, also der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke und Spannung, heißt [[elektrischer Leitwert]] <math>G</math> eines Leiters. Es gilt also:
:<math>G = \frac 1R\ .</math>

=== Berechnung des Widerstands eines Leiters ===
Der ohmsche Widerstand eines Körpers lässt sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer Material-Konstante, dem [[Spezifischer Widerstand|spezifischen Widerstand]] <math>\rho</math>, berechnen.
[[Datei:Resistivity geometry.svg|rahmenlos|hochkant=0.6|rechts]]

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche <math>A</math> und der Länge <math>l</math> gilt:
:<math>R = \rho \cdot \frac lA\;.</math>

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig.

=== Einflusseffekte ===
Der ohmsche Widerstand ist eine [[Ideales elektrisches Bauelement|Idealisierung]] für viele theoretische und mathematische Behandlungen, mit der sich in der Praxis oft gut arbeiten lässt. Aber zusätzlich zu den schon erwähnten Einschränkungen hat das Modell seine Grenzen durch äußere Einwirkungen.
# Ein [[Einflussgröße|Einfluss]] der ''Spannung'' auf den elektrischen Widerstand ist bei hohen Spannungen und hohen Widerstandswerten zu beachten in der Größenordnung <math>\tfrac{\Delta R/R}{\Delta U}=-10^{-5} \tfrac 1{\mathrm {V}}</math>,<ref>Wolfgang Gruhle: ''Elektronisches Messen: Analoge und digitale Signalbehandlung.'' Springer, 1987, S. 95.</ref> in neuen Entwicklungen von [[Messwiderstand|Messwiderständen]] bis zwei Zehnerpotenzen weniger.<ref>[http://www.high-voltage-resistors.com/datasheets/High_Voltage_Resistors_425.pdf Datenblatt für Hochspannungswiderstände]</ref> Vielfach ist er bei [[Nichtlinearer Widerstand|nichtlinearen Widerständen]], z.&nbsp;B. Halbleitern, zu beobachten; siehe [[#Differentieller Widerstand|unten]]. Ein Spannungseinfluss auf den Widerstand des [[Glühlampe#Glühfaden|Glühfadens]] einer [[Glühlampe]] ergibt sich indirekt über den Temperatureinfluss.
# Ein Einfluss der ''Frequenz'' ergibt sich bei vielen Widerständen erst bei höheren Frequenzen durch den [[Skineffekt]], aber selbst bei 50&nbsp;Hz kommt der Einfluss in dicken [[Leiterseil]]en von [[Freileitung|Hochspannungs-Freileitungen]] zum Tragen. Bei ''Wechselstrom''widerständen kann ein Frequenz-Einfluss auch bei niedrigen Frequenzen zu beobachten sein; siehe [[#Wechselstromwiderstand|unten]]. Zur Abgrenzung wird der frequenzunabhängige Anteil am Widerstand auch als '''Gleichstromwiderstand''' bezeichnet.
# Ein Einfluss der ''Temperatur'' ist häufig zu beachten, wie nachfolgend beschrieben:
Die oben aufgestellte Gleichung für den Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters wird dann beispielsweise ersetzt durch

{| class="wikitable float-right" style="text-align:right"
! colspan="3"| Beispiele für spezifischen Widerstand<br />und Temperaturkoeffizient bei 20 °C
|- class="hintergrundfarbe6"
! Material
! <math>\rho_{20}</math> in Ω·mm<sup>2</sup>/m
! <math>\alpha_{20}</math> in 1/°C
|-
| style="text-align:left" | [[Silber]] || {{ZahlExp|16|-3}} || {{ZahlExp|3,8|-3}}
|-
| style="text-align:left" | [[Kupfer]]<ref>[https://www.isabellenhuette.de/fileadmin/Daten/Praezisionslegierungen/Datenblaetter_Widerstand/E_KUPFER.pdf Datenblatt für Cu 99,9 %]</ref> || {{ZahlExp|17|-3}} || {{ZahlExp|4,3|-3}}
|-
| style="text-align:left" | [[Nickel]]<ref>[https://www.isabellenhuette.de/fileadmin/Daten/Praezisionslegierungen/Datenblaetter_Widerstand/REINSTNICKEL.pdf Datenblatt für Ni 99,98 %]</ref> || {{ZahlExp|70|-3}} || {{ZahlExp|6,6|-3}}
|-
| style="text-align:left" | Nickel-Chrom<ref>[https://www.isabellenhuette.de/fileadmin/Daten/Praezisionslegierungen/Datenblaetter_Widerstand/ISAOHM.pdf Datenblatt einer für Präzisionswiderstände geeigneten Legierung]</ref> || {{ZahlExp|13|-1}} || bis {{ZahlExp|1|-6}}
|}
:<math>R_{20}=\rho_{20} \cdot \frac lA \;,</math>
wobei der Index die [[Celsius-Temperatur]] kennzeichnet, für die die Größen gelten. In Tabellenbüchern ist die übliche Bezugstemperatur <math>t_b = 20\,^{\circ}\mathrm {C.}</math> Die Werte sind abhängig von Reinheitsgrad sowie thermischer und mechanischer Behandlung; deshalb sind die Tabellenwerte nur als Richtwerte zu verstehen.

Der Einfluss der Temperatur <math>t</math> auf den Widerstand <math>R(t)</math> lässt sich in einfachen Fällen mit dem ''Linear-[[Temperaturkoeffizient]]en'' <math>\alpha</math> und dem Temperaturunterschied <math>\Delta t = t - t_b</math> darstellen. Dann wird der Zusammenhang durch eine lineare Gleichung beschrieben
:<math>R(t) = R(t_b)(1 + \alpha_{t_b} \cdot \Delta t)\;.</math>

Für die meisten Anwendungen mit metallischen Materialien bei nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus; sonst sind Glieder höherer Ordnung in die Gleichung einzubeziehen. (Ein Beispiel mit Summanden bis zur vierten Potenz siehe [[Widerstandsthermometer#Platin|Platin im Artikel Widerstandsthermometer]].)

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, wird unterschieden zwischen
* ''[[Heißleiter]]n'' oder NTC (engl. {{lang|en|Negative Temperature Coefficient}}; Widerstandswert sinkt) und
* ''[[Kaltleiter]]n'' oder PTC (engl. {{lang|en|Positive Temperature Coefficient}}; Widerstandswert steigt). Generell sind alle Metalle Kaltleiter.

In der [[Messtechnik|Mess-]] und [[Regelungstechnik]] wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes als [[Messeffekt]] ausgenutzt, zum Beispiel bei [[Widerstandsthermometer]]n, weiteren [[Temperatursensor]]en, [[Thermische Anemometrie|thermischen Anemometern]] oder [[Einschaltstrombegrenzer]]n.

Es gibt auch verschiedene spezielle [[Legierung]]en, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, wie das für einen [[Messwiderstand]] erforderlich ist.

== Wechselstromwiderstand ==
=== Darstellung ===
==== Merkmale bei zeitabhängigen Größen ====
Bei [[Wechselgröße]]n muss beachtet werden, dass sich die [[Augenblickswert]]e der Spannung und der Stromstärke [[Periode (Physik)|periodisch]] ändern. Am ohmschen Widerstand besteht die Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke nicht nur für [[Gleichgröße]]n, sondern auch für Augenblickswerte zum jeweils betrachteten Zeitpunkt. Bei allen weiteren elektrischen [[Elektrisches Bauelement|Bauelementen]], selbst bei den als [[Linearer Widerstand|lineare Widerstände]] zusammengefassten, sind die Zusammenhänge zwischen den Augenblickswerten von Spannung und Stromstärke hingegen ''zeitabhängig''. So ist bei einem [[Ideales elektrisches Bauelement|idealen]] elektrischen [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensator]] die Stromstärke aufgrund seiner [[Elektrische Kapazität|Kapazität]] proportional zur [[Änderungsrate]] der Spannung. Die dem Kondensator von einem Erzeuger gelieferte Energie wird zum Aufbau eines [[Elektrisches Feld|elektrischen Feldes]] verwendet. Die Energie wird darin zunächst gespeichert. Später, nach dem Wechsel des Vorzeichens der Stromstärke, wird das Feld wieder abgebaut und die Energie zurückgespeist.&nbsp;– Entsprechend ist bei einer idealen [[Spule (Elektrotechnik)|Spule]] die Spannung aufgrund ihrer [[Induktivität]] proportional zur Änderungsrate der Stromstärke.

In den Rechnungen mit Wechselgrößen
mit der [[Frequenz]] <math>f</math> oder der Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi f</math>
ergibt sich bei diesen Bauelementen:

Eine ''[[Sinus und Kosinus|sinusförmige]]'' Stromstärke
:<math>i = \hat \imath \cdot \sin (\omega t + \varphi_i)</math>
hat eine zeitlich verzögerte, ebenfalls sinusförmige Spannung
:<math>u = \hat u \cdot \sin (\omega t + \varphi_u)</math>
mit derselben Kreisfrequenz zur Folge – oder umgekehrt. Das beschreibt einen zeitabhängigen Zusammenhang, in dem aber die [[Amplitude]]n <math>\hat u, \hat \imath</math> und die Frequenz zeit''un''abhängig sind. Das Beibehalten der Sinusform im zeitlichen Verlauf ist mit ein Grund, das Verhalten der genannten Bauelemente als ''linear'' zu bezeichnen. Allerdings stellt sich durch die Verzögerung ein [[Phasenverschiebungswinkel]] ein:
:<math>\varphi_{ui} =\varphi_u - \varphi_i\ .</math>
Er ist nur beim ohmschen Widerstand gleich null. Außer bei diesem ist das Verhältnis <math>u/i</math> zeitabhängig, ohne Proportionalität und zur Beschreibung in der Wechselstromtechnik ungeeignet.<ref>[[Wilhelm Walcher]]: ''Praktikum der Physik.'' 6. Auflage, Teubner, 1989, Seite 243.</ref> Sinnvoll angeben lässt sich jedoch der Quotient <math>\hat u/\hat \imath</math> der Amplituden (oder gleichwertig der Quotient der [[Effektivwert]]e), der als ''Scheinwiderstand''
:<math>Z= \frac{\hat u}{\hat \imath} = \frac{U_\mathrm{eff}} {I_\mathrm{eff}}</math>
bezeichnet wird. Beim idealen Kondensator und bei der idealen Spule ist der Scheinwiderstand so groß wie der Betrag des [[Blindwiderstand]]s <math>X</math>. Beide Widerstände werden wie der ohmsche Widerstand als unabhängig von Spannung, Stromstärke und Zeit angesehen. Aber beide sind abhängig von einem [[Parameter (Mathematik)|Parameter]], der Frequenz.

Bei einer realen Spule ist meistens der ohmsche Drahtwiderstand <math>R</math> gegenüber dem Blindwiderstand nicht zu vernachlässigen. Da er Energie nach außen abgeben kann, wird er als [[Wirkwiderstand]] bezeichnet. Der Gesamtwiderstand ergibt sich allerdings wegen der unterschiedlichen Phasenverschiebungen im Wirkanteil und im Blindanteil des Spulenwiderstands nicht wie gewohnt durch arithmetische Addition. Der Phasenverschiebungswinkel beträgt bei der Induktivität +90°, bei der Kapazität −90°. Damit ist eine [[Pythagoreische Addition]] erforderlich:
[[Datei:Rot.-Zeiger2.svg|mini|hochkant=1.7|Links: Zwei mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierende Zeiger.<br />Rechts: Deren Projektionen auf die senkrechte [[Ursprungsgerade]] ergeben die Augenblickswerte, sie haben über dem [[Phasenwinkel]] <math>\omega t</math> oder der Zeit <math>t</math> aufgetragen einen Sinusverlauf.<br />(Mit der Projektion auf eine andere Ursprungsgerade ändert sich die Aussage nicht, nur die [[Nullphasenwinkel]] ändern sich damit.)<br />Die blau gezeichnete Schwingung läuft der rot gezeichneten um 60° vor.]]
:<math>Z^2= R^2 +X^2\ </math>,
wobei stets <math>|\varphi_{ui}|</math> < 90° ist.

==== Mathematische Darstellung ====
Die mathematische Behandlung mit den Gleichungen für <math>u</math> und <math>i</math> ist wegen trigonometrischer Umformungen sehr aufwändig. Deshalb ist für Berechnungen die [[komplexe Wechselstromrechnung]] entwickelt worden, in der [[Reelle Zahl|reelle]] physikalische Größen formal durch [[Imaginäre Zahl|komplexe Größen]] ersetzt werden; <math>u</math> und <math>i</math> werden durch in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]] rotierende Zeiger abgebildet.<ref>Wilfried Weißgerber: ''Elektrotechnik für Ingenieure 2.'' Vieweg, 1991, Seite 5 ff.</ref><ref>[[Ekbert Hering]], Karl-Heinz Modler (Hrsg.): ''Grundwissen des Ingenieurs.'' 14. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 2007, Seite&nbsp;167&nbsp;ff.</ref> Sie drehen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit <math>\omega</math> um den Koordinatenursprung. Ihre Längen repräsentieren die Amplituden; die Abstände der Pfeilspitzen von der reellen Achse stehen für die Augenblickswerte; sie ändern sich mit der Zeit sinusförmig.

Formelzeichen komplexer Größen werden durch Unterstreichung gekennzeichnet.<ref>DIN 5483–3: ''Zeitabhängige Größen – Teil 3: Komplexe Darstellung sinusförmig zeitabhängiger Größen.'' Sept. 1994.</ref> Für die rotierenden Zeiger gilt:
[[Datei:Widerstand Zeiger.svg|mini|Impedanz als Zeiger in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]] mit ihren Komponenten.<br />Auf der waagerechten Achse wird der Realteil der Impedanz aufgetragen, auf der senkrechten Achse der Imaginärteil.<br />Der Winkel <math>\varphi</math> in der Zeichnung entspricht dem Winkel <math>\varphi_{ui}</math> im Text.]]
:<math>\underline u=\hat u \cdot \mathrm e^{\mathrm j(\omega t + \varphi_u)}\quad</math>und <math>\quad\underline{i\,}=\hat \imath\cdot \mathrm e^{\mathrm j(\omega t + \varphi_i)}</math>
mit der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>\mathrm j</math>, die durch <math>\mathrm j^2=-1</math> definiert wird.

Ferner wird der ''komplexe Wechselstromwiderstand'' eingeführt, der auch ''[[Elektrische Impedanz|Impedanz]]'' genannt wird:
:<math>\underline Z= \frac{\underline u}{\underline i}\ .</math>
Anders als beim Bruch <math>\tfrac ui</math> kürzt sich beim Bruch <math>\tfrac{\underline u}{\underline i}</math> die im Faktor <math>\mathrm e^{\mathrm j\omega t}</math> enthaltene Zeitabhängigkeit heraus. Somit rotiert der zugehörige Zeiger nicht.

Der komplexe Widerstand ermöglicht die Zusammenfassung von Wirk- und Blindwiderstand zu
:<math>\underline Z =R+ \mathrm jX</math>
und die Zusammenfassung von Scheinwiderstand und Phasenverschiebungswinkel zu
:<math>\underline Z = Z \cdot \mathrm e^{\mathrm j\varphi_{ui}}\ .</math>
Davon wird nachfolgend Gebrauch gemacht.

=== Ursachen der komplexen Widerstände ===
Bei einer Spule mit der [[Induktivität]] <math>L</math> gilt
:<math>u=L\ \frac{\mathrm di}{\mathrm dt}\ .</math>
Aufgrund einer Spannung wächst die Stromstärke mit der Zeit an. Bei Wechselstrom folgt dieser verzögert. Mit dem Ansatz mit den komplexen Größen <math>\underline u=\hat u \ \mathrm e^{\mathrm j(\omega t + \varphi_u)}</math> und <math>\underline{i\,}=\hat \imath\ \mathrm e^{\mathrm j(\omega t + \varphi_i)}</math> ergibt sich nach der Differenziation
:<math>\underline u=L\ \hat \imath\ \mathrm e^{\mathrm j(\omega t + \varphi_i)}\cdot\mathrm j\omega =\mathrm j \omega L \cdot {\underline i}</math>

:<math>\frac{\underline u}{\underline i}= \mathrm j \omega L= \mathrm jX\ .</math>
Das <math>X</math> wird hier als induktiver Blindwiderstand bezeichnet
:<math>X = X_L =\omega L\ge 0\ .</math>
Zusammen mit dem Faktor <math>\mathrm j</math> bedeutet das Ergebnis, dass eine Induktivität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt.
Mit <math>\mathrm j = \mathrm {e^{j \pi/2}}\ </math> ergibt sich <math>\varphi_{ui} =\mathrm \pi/2 =+90^\circ.</math>

Der Scheinwiderstand einer Induktivität ist ein zur Frequenz [[proportional]]er, aber im Übrigen [[linearer Widerstand]].

Entsprechend gilt bei einem Kondensator mit der [[Elektrische Kapazität#Berechnungen|Kapazität]] <math>C</math>
:<math>u=\frac1C \int i \mathrm dt\ .</math>
Aufgrund eines Stromes wächst die Spannung mit der Zeit an. Bei Wechselspannung folgt diese verzögert.
Mit den komplexen Größen und nach der Integration ergibt sich
:<math>\underline u =\frac1{\mathrm j \omega C} \cdot \underline i</math>

:<math>\frac{\underline u}{\underline i}= \frac1{\mathrm j\omega C} =-\mathrm j\;\frac1{\omega C}=\mathrm jX\ .</math>
Das <math>X</math> wird hier als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet
:<math>X = X_C= -\frac1{\omega C} \le 0\ .</math>
Zusammen mit dem Faktor <math>\mathrm j</math> bedeutet das Ergebnis, dass eine Kapazität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Hier ist <math>\varphi_{ui} =-\pi /2=-90^\circ.</math>

Der Scheinwiderstand einer Kapazität ist ein zur Frequenz [[umgekehrt proportional]]er, aber im Übrigen linearer Widerstand.

=== Umrechnungen ===
Mit der [[Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] ist
:<math>\underline Z = Z \cdot \mathrm e^{\mathrm j\varphi_{ui}}
= Z \cdot (\cos \varphi_{ui} + \mathrm j \sin \varphi_{ui})\ .</math>
Durch Vergleich dieser Schreibweise mit
:<math>\underline Z=R+ \mathrm jX</math>
ergeben sich
:<math>\operatorname {Re} \underline Z=Z\cdot \cos \varphi_{ui} = R</math> (Wirkwiderstand),
:<math>\operatorname {Im} \underline Z=Z\cdot \sin \varphi_{ui} =X</math> (Blindwiderstand).
Für den Scheinwiderstand gilt:
:<math>Z = |\underline Z| =\frac {|\underline u|}{|\underline i|} = \frac {\hat u}{\hat \imath}= \frac {U_{\text{eff}}}{I_{\text{eff}}}</math>
:oder
:<math>Z = \sqrt{R^2 + X^2}</math>
und für den Phasenverschiebungswinkel zwischen <math>\underline u</math> und <math>\underline {i\,}</math>:
:<math>\varphi_{ui} = \arctan \frac XR\ .</math>

=== Sonderfälle ===
* Für <math>R = 0</math> gilt:
:<math>\varphi_{ui} = \arctan \frac X0</math> .
:* Für <math>X > 0</math> ist <math>\varphi_{ui}=+90^\circ </math> und <math>\underline Z= \mathrm jZ = \mathrm jX</math> ;

:* für <math>X < 0</math> ist <math>\varphi_{ui} =-90^\circ </math> und <math>\underline Z= -\mathrm jZ = \mathrm jX</math> .

* Für <math>X = 0</math> gilt:
:<math>\varphi_{ui} = \arctan \frac 0R = \arctan 0 = 0^\circ </math>
:<math>\underline Z= Z =R</math> .

=== Zusammenschaltung, Ersatzwiderstand ===
[[Datei:Widerstand Ersatzsch.svg|mini|Ersatzschaltbilder für Wechselstromwiderstände<br /> links: Parallelschaltung<br /> rechts: Reihenschaltung]]
Als '''Ersatzwiderstand''' wird der [[Elektrische Impedanz|komplexe elektrische Widerstand]] bezeichnet, der denselben Widerstand besitzt wie eine elektrische Schaltung oder der Teil einer elektrischen Schaltung, den er ersetzt. Ein Ersatzwiderstand kann das Verhalten komplexer elektrischer Anordnungen veranschaulichen und eine Berechnung ermöglichen; siehe auch [[Ersatzschaltbild]].

Tatsächlich auftretende Wechselstromwiderstände lassen sich häufig durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivität oder mit einer Kapazität beschreiben. Welches der Bilder verwendet wird, ist eine Frage der besseren Annäherung an die Wirklichkeit mit möglichst frequenzunabhängigen Größen und der Zweckmäßigkeit für die mathematische Behandlung.

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit <math>R</math>, <math>C</math> und <math>L</math> beschrieben werden; siehe auch [[Leitungsbelag]]. Dies zeigt sich im Besonderen dann, wenn die Bauelemente mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge der angelegten Wechselspannung kommen; dann besitzen sie eine nicht zu vernachlässigende Induktivität und Kapazität. Sie werden gegebenenfalls zum [[Schwingkreis]], als Beispiel sei hier die [[Antennentechnik|Antenne]] genannt. Deren Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der Draht dazwischen als Spule.

Werden ein ohmscher Widerstand und ein Blindwiderstand zusammengeschaltet, so können in komplexer Schreibweise die weiter unten folgenden Regeln für Reihen- und Parallelschaltung angewendet werden.

Werden eine kapazitive und eine induktive Impedanz zusammengeschaltet, so entsteht bei genügend kleiner ohmscher Belastung ein [[Schwingkreis]]; die Reihen- und Parallelschaltung und die weiteren Konsequenzen werden unter diesem Stichwort behandelt.

=== Ortskurve ===
[[Datei:Ortskurve Imp RL.svg|mini|Ortskurve der Impedanz einer RL-Reihenschaltung]]
[[Datei:Ortskurve Imp RC.svg|mini|Ortskurve der Impedanz einer RC-Parallelschaltung]]
Ein anschauliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von Schaltungen mit Wechselstromwiderständen ist die [[Ortskurve (Systemtheorie)|Ortskurve]].

Komplexe Größen lassen sich durch Zeiger in der komplexen Ebene darstellen. Wenn die komplexe Größe eine Funktion eines (reellen) Parameters ist und wenn dieser Parameter variiert wird, verschiebt sich die Spitze des Zeigers. Eine Linie durch alle denkbaren Zeigerspitzen wird als Ortskurve bezeichnet.

Die Bilder zeigen Ortskurven der Impedanz als Funktion der Frequenz für die angegebenen Schaltungen. Bei einer RL- oder RC-Reihenschaltung mit einem von der Frequenz unabhängigen ohmschen Widerstand ist auch der Wirkanteil der Impedanz von der Frequenz unabhängig. Bei der entsprechenden Parallelschaltung sind der Wirk- und der Blindanteil der Impedanz ersichtlich beide von der Frequenz abhängig.

== Reihen- und Parallelschaltung ==
=== Reihenschaltung ===
{{Hauptartikel|Reihenschaltung}}
Werden <math>n</math> ohmsche Widerstände hintereinander geschaltet, so addieren sich die Widerstände:
:<math>R_\text{rei}= \sum_{k=1}^n R_k =R_1+R_2+ \cdots +R_n =\frac1{G_1} +\frac1{G_2}+ \cdots + \frac1{G_n}</math>
Dieses lässt sich an der Reihenschaltung zweier Widerstände veranschaulichen, die sich nur in der Länge <math>l</math> unterscheiden.

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge <math>l_1+l_2</math>. Dann gilt:
[[Datei:Widerstand R1 plus R2.svg|rahmenlos|hochkant=1.3|rechts]]
:<math>R_\text{rei}= \rho \cdot \frac{l_1+l_2}A = \rho\cdot \frac{l_1}A + \rho \cdot \frac{l_2}A = R_1+R_2</math>
Bei <math>n</math> gleichen Widerständen (<math>R_n = R_1 = R_2 = \cdots</math>) ist der Gesamtwiderstand so groß wie der mit der Anzahl der Widerstände multiplizierte Einzelwiderstand:
:<math>R_\text{rei}= n\cdot R_n</math>
Der Widerstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Einzelwiderstand. Eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderständen im [[Reihenschwingkreis]].

=== Parallelschaltung ===
{{Hauptartikel|Parallelschaltung}}
Werden <math>n</math> ohmsche Widerstände nebeneinander geschaltet, so addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstände:
:<math>G_\text{par} = G_1+G_2+ \cdots + G_n</math>
:<math>\frac 1{R_\text{par}}= \sum_{k=1}^n \frac1{R_k}= \frac1{R_1}+\frac1{R_2} +\cdots+ \frac1{R_n}</math>
Dieses lässt sich an der Parallelschaltung zweier Widerstände veranschaulichen, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche <math>A</math> unterscheiden.

Die Parallelschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Querschnittsfläche <math>A_1+A_2</math>. Dann gilt:
[[Datei:Widerstand R1 R2 parallel.svg|rahmenlos|rechts]]
:<math>R_\text{par}=\rho \cdot \frac l{A_1+A_2}</math>
und umgestellt
:<math>\frac1{R_\text{par}}= \frac{A_1+A_2}{\rho\cdot l} = \frac{A_1}{\rho\cdot l} + \frac{A_2}{\rho\cdot l}= \frac1{R_1} + \frac1{R_2}</math>
Für die Parallelschaltung gibt es eine alternative Schreibweise mit dem ''Parallel''-Zeichen <math>{\|}</math>:
:<math>R_\text{par}=R_1 \| R_2 \| \cdots \| R_n</math>
Speziell für zwei parallele Widerstände gilt:
:<math>R_\text{par}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}</math>
Bei <math>n</math> gleichen Widerständen ist der Gesamtwiderstand so groß wie der durch die Anzahl der Widerstände dividierte Einzelwiderstand:
:<math>R_\text{par}= \frac1n R_n</math>
Der Widerstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderständen im [[Parallelschwingkreis]].

== Differentieller Widerstand ==
{{Hauptartikel|Differentieller Widerstand|Kleinsignalverhalten}}
Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-[[Kennlinie]]n –&nbsp;wie zum Beispiel von [[Diode]]n&nbsp;– ist der Quotient für jedes Strom-Spannungs-Paar unterschiedlich. In diesem Fall gilt das ohmsche Gesetz nicht, und man kann nicht von einem [[Linearer Widerstand|linearen Widerstand]] <math>R</math> sprechen. Kleine Spannungsänderungen sind jedoch näherungsweise proportional zu damit verbundenen kleinen Stromstärkeänderungen. Der Quotient aus kleiner Spannungsänderung und zugehöriger Stromstärkeänderung bei einer bestimmten Spannung wird als differentieller Widerstand <math>r</math> bezeichnet. In einem Diagramm, in dem <math>U</math> über <math>I</math> aufgetragen wird, entspricht er der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie.
:<math>r = \frac{\mathrm dU}{\mathrm dI}</math>

=== Negativer differentieller Widerstand ===
[[Datei:I-U-Charakteristik einer Tunnel-Diode.svg|mini|Strom-Spannungscharakteristik einer Tunneldiode]]
Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Im Bild ist das im Bereich ''U''<sub>P</sub>&nbsp;<&nbsp;''U''&nbsp;<&nbsp;''U''<sub>V</sub> der Fall. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden ([[Oszillator]]). Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen oder bei Bauteilen wie [[Avalanche-Diode|Avalanche-]] und [[Tunneldiode]]n auf, in einfachen elektronischen Schaltungen wie der [[Lambda-Diode]], aber auch bei komplexeren Modulen wie z.&nbsp;B. Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite.

=== Positiver differentieller Widerstand ===
Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt die Stromstärke mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, [[Diode]], [[Zener-Diode]], alle halbleitenden Keramiken.

== Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell ==
Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, dass sich die [[Valenzelektron]]en im [[Metalle|Metall]] wie ein Gas ([[Elektronengas]]) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können. In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen, vollbesetzten Schalen bestehen.

Ohne äußere elektrische Spannung bewegen sich die Elektronen ungeordnet im Metall (siehe [[brownsche Bewegung]]). Legt man nun eine Spannung an, so werden die freien Elektronen durch das [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]] in Richtung der [[Feldlinien]] beschleunigt. Es fließt ein elektrischer Strom.

Auf ihrem Weg durch das Metall kommt es zu [[Stoß (Physik)|elastischen Stößen]] der Elektronen mit anderen Elektronen, den Atomrümpfen und [[Phonon]]en. Dabei geben die Elektronen Energie an ihre Stoßpartner ab, werden gestreut und wieder durch das elektrische Feld beschleunigt. Die Elektronen werden durch diese Wechselwirkung dauernd abgebremst und es stellt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit ein.

Die bei diesen Stößen an die Atomrümpfe beziehungsweise Phononen übertragene Energie führt zu einer größeren Eigenschwingung um ihre Gleichgewichtslage, ihre Temperatur erhöht sich. Durch die stärkeren Schwingungen erhöht sich die Querschnittsfläche für mögliche Stöße, deren Anzahl mit steigender Temperatur zunimmt und den Widerstand steigen lässt ([[Kaltleiter]]). Der Leitungsvorgang in [[Heißleiter]]n kann mit diesem Modell nicht vollständig erklärt werden, da es hier mit steigender Temperatur zu einer deutlichen Ladungsträgergeneration kommt, die den eben beschriebenen Vorgang überlagern.

Bei sehr hohen Temperaturen, bei denen die Atome des Materials ionisiert werden ([[Plasma (Physik)|Plasma]]), ist jeder Stoff elektrisch leitend, da die vorher gebundenen Elektronen nun für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt, für die der elektrische Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen unterhalb einer spezifischen [[Sprungtemperatur]] verschwindet: [[Supraleiter]] besitzen bei Gleichstrom keinen ohmschen Widerstand, Strom fließt bei dieser tiefen Temperatur ohne Verluste.

Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht ein temperaturabhängiger Rauschstrom, der als [[Wärmerauschen|Widerstandsrauschen]] bezeichnet wird.

== Hall-Effekt ==
Der [[Hall-Widerstand]] gibt das Verhältnis Spannung zu Stromstärke eines [[Hallelement]]es bei einer bestimmten magnetischen Flussdichte an, wobei diese Spannung ''quer'' zur [[Elektrische Stromdichte|Stromdichte]] auftritt. Er charakterisiert das Hall-Element bzw. die magnetische Flussdichte, hat jedoch mit dem elektrischen Widerstand dieses Hall-Elementes nichts zu tun.

Der [[Quanten-Hall-Effekt]] äußert sich dadurch, dass bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern die senkrecht zur Stromdichte auftretende Spannung nicht wie beim klassischen Hall-Effekt linear mit der Flussdichte anwächst, sondern in Stufen. Dieses Phänomen führt auf eine universelle Naturkonstante, die „[[Von-Klitzing-Konstante]]“ von der [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] Widerstand. Da die Von-Klitzing-Konstante relativ einfach gemessen werden kann, wurde vorgeschlagen, sie als [[Normal]] für Messungen des elektrischen Widerstands zu verwenden.

== Weblinks ==
* {{Webarchiv |url=http://www.leifiphysik.de:80/elektrizitaetslehre/widerstand-spez-widerstand/spezifischer-widerstand-von-draehten |text=Versuche und Aufgaben zum elektrischen Widerstand (Wayback Machine Archive) |wayback=20170201001926}} ([[LEIFI]])
* '' [[:Datei:1982 Hannover Messe Exponat-Information Klaus von Klitzing PTB Bewahrung und Darstellung der Einheit des elektrischen Widerstandes Ohm.pdf|Bewahrung und Darstellung der Einheit des elektrischen Widerstandes Ohm]]''. Exponat-Informationsblatt der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, Hannover Messe '82, 21. April 1982

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4128466-5}}

[[Kategorie:Elektrischer Widerstand| ]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Elektrische Größe]]