Quelltext der Seite Punkt (Geometrie)

Ein '''Punkt''' (als ''Raumpunkt'') ist ein grundlegendes Element der [[Geometrie]]. Anschaulich stellt man sich darunter ein Objekt ohne jede Ausdehnung vor. Beim [[axiom]]atischen Zugang zur Geometrie ([[Synthetische Geometrie]]) existieren gleichberechtigt neben den Punkten auch andere Klassen von geometrischen Objekten, wie zum Beispiel die [[Gerade]]n. In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] und der [[Differentialgeometrie]] werden dagegen alle anderen geometrischen Objekte als [[Menge (Mathematik)|Mengen]] von Punkten definiert. In der [[Funktionalanalysis]] können [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] als Punkte eines [[Funktionenraum]]es betrachtet werden. In der ''Höheren Geometrie'' werden zum Beispiel [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] eines dreidimensionalen [[projektiver Raum|projektiven Raumes]] als Punkte des zugehörigen [[Dualraum]]s aufgefasst.

Der Punkt zählt als spezieller [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] mit einem [[Radius]] von null zu den [[Kegelschnitt]]en. Früher wurde ein solcher Punkt auch mathematischer Punkt genannt.<ref>Mathias Hartmann: ''Grundlehren der Geometrie'' [https://books.google.de/books?id=nFkHAAAAcAAJ&pg=PA1&dq=%22Mathematischer+Punkt%22+Punkt+Geometrie&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjWzr7a84btAhUOQkEAHfKICvAQ6AEwAXoECAYQAg#v=onepage&q=%22Mathematischer%20Punkt%22%20Punkt%20Geometrie&f=false] Seite 1</ref><ref>{{Literatur |Autor=Karl Immel |Titel=Die Elemente der Raumlehre in Verbindung mit dem geometrischen Zeichnen |Verlag=Lindauer |Datum=1873 |Online=https://books.google.de/books?id=g0paAAAAcAAJ&pg=PA2&dq=%22Mathematischer+Punkt%22+Punkt+Geometrie&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjWzr7a84btAhUOQkEAHfKICvAQ6AEwBHoECAgQAg#v=onepage&q=%22Mathematischer%20Punkt%22%20Punkt%20Geometrie&f=false |Abruf=2022-03-11}}</ref>

== Antike Geometrie bis zur synthetischen Geometrie ==
Nach [[Proklos]] war [[Pythagoras]] der Erste, der eine Definition eines Punktes anbot, als ''Einheit ([[Monade (Philosophie)|monas]]), die eine Position hat.'' Der griechische Mathematiker [[Euklid]] bezeichnet um 300 v. Chr. in seinem Werk ''[[Euklids Elemente|Die Elemente]]'' in der ersten Definition den Punkt als „etwas, das keine Teile hat“ und verwendet die Bezeichnung ''[[semeion]]'' ({{grcS|σημεῖον|variant=alt}} eigentlich „Zeichen“, in der Mathematik speziell „Punkt“).<ref>{{Literatur | Autor=[[Wilhelm Gemoll]] | Titel=Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch | Auflage= | Verlag=G. Freytag Verlag/Hölder-Pichler-Tempsky | Ort=München/Wien | Jahr=1965 | ISBN= }}</ref> Es handelt sich um eine abstrakte Bezeichnung, die wohl als Antwort auf in der platonischen Schule ausgiebig diskutierten Schwierigkeiten zu verstehen ist, den Zusammenhang zwischen Punkten, die keine Ausdehnung haben und den aus ihnen zusammengesetzt vorgestellten Linien, die eine Ausdehnung haben, zu erfassen; beispielsweise in Aristoteles’ ''[[De generatione et corruptione]]''.<!--- GC I 2, 316a15 --><ref>Leslie Kavanaugh: ''The architectonic of philosophy: Plato, Aristotle, Leibniz''. Amsterdam University Press. 2007.</ref>

Für [[Satz (Mathematik)|Sätze]] und ihre [[Beweis (Mathematik)|Beweise]] in der synthetischen Geometrie spielt die wahre Natur von Punkten und Linien jedoch keine Rolle, sondern lediglich die durch Axiome festgelegte Beziehung der Objekte untereinander. [[David Hilbert]] wird der Ausspruch zugeschrieben, man könne statt „Punkte, Geraden und Ebenen“ jederzeit auch „Tische, Stühle und Bierseidel“ sagen; es komme nur darauf an, dass die Axiome erfüllt sind.

Ein Punkt ist in diesem Fall ein Begriff, auf den die einzelnen Axiome Bezug nehmen. Ein Beispiel ist das erste Axiom aus [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie|Hilberts Axiomensystem]]:
: Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.

Die Bedeutung des Begriffs ''Punkt'' ergibt sich aus der Gesamtheit des Axiomensystems. Eine Interpretation als Objekt ohne Ausdehnung ist nicht zwingend.

In der [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] sind die Begriffe ''Punkt'' und ''Gerade'' sogar vollständig austauschbar. Damit ist es hier möglich, sich eine Gerade als unendlich klein und einen Punkt als unendlich lang und unendlich dünn vorzustellen.

== Analytische Geometrie ==
{{Hauptartikel|Analytische Geometrie}}
In der analytischen Geometrie wird der geometrische Raum als <math>n</math>-dimensionaler [[Vektorraum]] über einem Körper <math>K</math> dargestellt. Jedes Element dieses Vektorraums wird als Punkt bezeichnet. Eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] legt ein [[Koordinatensystem]] fest und die Komponenten eines Vektors bezüglich dieser Basis werden als die Koordinaten des Punktes bezeichnet. Ein Punkt hat dabei die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] null.

Alle anderen geometrischen Objekte werden als Mengen von Punkten definiert. So wird etwa eine [[Gerade]] als eindimensionaler [[affiner Unterraum]] und eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] als zweidimensionaler affiner Unterraum definiert. Eine [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] wird als die Menge der Punkte definiert, welche zum Mittelpunkt einen bestimmten Abstand haben.

== Differentialgeometrie ==
In der Differentialgeometrie werden die Elemente einer [[Mannigfaltigkeit]] als Punkte bezeichnet. Dies sind in diesem Fall keine Vektoren, ein Punkt kann aber mit Hilfe einer lokalen Karte mit Koordinaten versehen werden.

== Zitate ==
Von [[Oskar Perron]] stammt die folgende Bemerkung:<ref>Oskar Perron: ''Nichteuklidische Elementargeometrie der Ebene'', Stuttgart 1962</ref>
{{Zitat|Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.}}

== Literatur ==
* Manon Baukhage: ''Der Punkt. Zugegeben, er macht nicht viel her – so klein wie er sich gibt. Tatsächlich aber gehört er zu den großen Rätseln der Welt''; in: "P.M. – Peter Moosleitners Magazin Nr. 2/2005 (München: Februar 2005); S. 58–65.

== Weblink ==
* Definition des Punktes nach Euklid (Leipzig 1549) [https://digital.staatsbibliothek-berlin.de/werkansicht/?PPN=PPN718558723&DMDID=DMDLOG_0002]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4298379-4}}

[[Kategorie:Geometrie]]