Tschebyscheff-Ungleichung (Arithmetik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Tschebyschow-Summenungleichung)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel behandelt die arithmetische Tschebyschow-Ungleichung. Für die statistische Tschebyschow-Ungleichung siehe Tschebyschow-Ungleichung.

Die Tschebyscheff-Ungleichung (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow) ist eine Ungleichung der Mathematik.[1][2]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sie besagt, dass für monoton gleich geordnete n-Tupel reeller Zahlen

und

,

die Beziehung

.

gilt. Sind und hingegen entgegengesetzt geordnet, also beispielsweise

und

,

so gilt die Ungleichung in umgekehrte Richtung

.

Man beachte, dass im Gegensatz zu vielen anderen Ungleichungen keine Voraussetzungen für die Vorzeichen von und notwendig sind.

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis aus Umordnungs-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich aus der Umordnungs-Ungleichung ableiten. Multipliziert man die rechte Seite aus, so ergibt sich

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun jede dieser Summen (im Fall gleich geordneter Zahlen und ) kleiner oder gleich , insgesamt erhält man also genau die gewünschte Beziehung

.

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen und braucht die Umordnungs-Ungleichung nur in die umgekehrte Richtung angewendet werden.

Beweis mit vollständiger Induktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch mit vollständiger Induktion und Anwendung der Umordnungs-Ungleichung für den einfachsten Fall mit zwei Summanden beweisen. Der Induktionsanfang ist einfach zu führen. Im Induktionsschritt betrachtet man nun

.

Wendet man nun auf den mittleren Summanden die Umordnungs-Ungleichung für zwei Summanden und auf den letzten Summanden die Induktionsvoraussetzung an, so ergibt sich (im Fall gleich geordneter Zahlen und )

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen und ist der Beweis analog.

Beweis aus Gleichungs-Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein anderer Beweis ergibt sich direkt aus der Gleichung

bzw. allgemeiner mit Gewichten

.

Es gilt nämlich

.

Mit Umbenennung der Indizes ergibt sich

,

insgesamt also genau die Behauptung:

.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch in der Form

schreiben. In dieser Form lässt sie sich auch auf mehr als zwei gleich geordnete n-Tupel verallgemeinern, wobei die betrachteten Zahlen allerdings größer oder gleich Null sein müssen: Für

mit

gilt

Der Beweis kann beispielsweise mit vollständiger Induktion nach erfolgen, da ja für bezüglich fallend geordnete nichtnegative Zahlen auch deren Produkte

fallend geordnet und nichtnegativ sind.

Varianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind auf gleichsinnig monoton und ist eine Gewichtsfunktion, d.h. dann ist

.

Zum Beweis integriert man die nichtnegative Funktion ausmultipliziert nach x und y jeweils von 0 bis 1. Dies lässt sich weiter verallgemeinern:

Sind auf gleichsinnig monoton und nichtnegativ dann ist

.

Und sind auf gleichsinnig monoton und nichtnegativ und ist eine Gewichtsfunktion dann ist

.

Dies ergibt sich wenn man x durch substituiert.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Wiesbaden, Vieweg+Teubner, Verlag 2003, ISBN 3-322-96828-6, S. 99.
  2. Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, S. 54.