„Strukturkonstante“ – Versionsunterschied
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'''Strukturkonstanten''' werden in der [[Mathematik]] im Bereich der [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]] und [[Lie-Gruppe|Lie-Gruppen]] betrachtet. Sie enthalten die gesamten lokalen Informationen über die einer Lie-Algebra zugeordneten Lie-Gruppe. |
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== Definition == |
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Aufgrund der [[Bilineare Abbildung|Bilinearität]] des Produktes im endlichen [[Vektorraum]] ([[Algebra (Struktur)|Algebra]]) A genügt es, dort das Produkt auf den [[Basis (Vektorraum)|Basis]]elementen vorzugeben. Diejenigen [[Mathematische Konstante|Konstanten]], die multipliziert mit einem Basiselement gleich dem Produkt zweier Basiselemente sind, heißen '''Strukturkonstanten''' der Algebra A. |
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Sei <math>V</math> eine endlichdimensionale, reelle oder komplexe [[Lie-Algebra]] mit dem Produkt <math>[\cdot,\cdot]</math> und sei <math>\{x_1 , \ldots , x_n\}</math> eine [[Vektorraumbasis]] der Lie-Algebra. Da man in Vektorräumen jedes Element als [[Linearkombination]] bezüglich einer Basis darstellen kann, existiert für alle <math>i, j \in {1, \ldots n}</math> die Zerlegung |
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:<math>[x_i,x_j] = \sum_{k=1}^n c^k_{ij} x_k</math> |
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des Produkts der Lie-Algebra. Die <math>n^3</math> Konstanten <math>c^k_{ij} \in \C</math> nennt man Strukturkonstanten der Lie-Algebra <math>V</math>.<ref>{{Literatur | Autor = Manfred Böhm | Titel = Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik | Jahr = 2011 | Verlag = Springer | Ort = Berlin | ISBN = 978-3-642-20378-7 | Seiten = 179–180 }}</ref> |
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== Einzelnachweise == |
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<references /> |
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*[http://www.math.kit.edu/iag2/~baues/media/lie.pdf Lie-Gruppen und Lie-Algebren von Oliver Baues, Karlsruhe] |
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*Stammbach, Urs: Lineare Algebra, Teubner Studienskripten, Stuttgart 1980, S. 251 |
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[[Kategorie: |
[[Kategorie:Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen]] |
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Version vom 1. März 2012, 19:22 Uhr
Strukturkonstanten werden in der Mathematik im Bereich der Lie-Algebren und Lie-Gruppen betrachtet. Sie enthalten die gesamten lokalen Informationen über die einer Lie-Algebra zugeordneten Lie-Gruppe.
Definition
Sei eine endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra mit dem Produkt und sei eine Vektorraumbasis der Lie-Algebra. Da man in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellen kann, existiert für alle die Zerlegung
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle [x_{i},x_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ij}^{k}x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a39ebca60e9de8e273b77116d3778b9057980c)
des Produkts der Lie-Algebra. Die Konstanten nennt man Strukturkonstanten der Lie-Algebra .[1]
Einzelnachweise
- ↑ Manfred Böhm: Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-20378-7, S. 179–180.