Definitionslücke

Die Definitionslücke ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Hat eine Funktion Definitionslücken, so müssen einzelen Punkte aus ihrem Definitionsbereich entfernt werden, damit keine Anomalien auftreten. Definitionslücken treten oftmals dann auf, wenn Funktionen betrachtet werden, die aus einer Division einer Funktion mit einer zweiten entstehen.

Definition

Funktion mit Definitionslücke $x_{0}$

Sei $I=[a,b]\subset \mathbb {R}$ ein Intervall und $x_{0}\in ]a,b[$ ein Punkt aus dem Inneren des Intervalls. Eine Funktion $f\colon I\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R}$, die auf dem Intervall $I$ außer an der Stelle $x_{0}$ definiert ist, hat in $x_{0}$ eine Definitionslücke.

Stetig hebbare Definitionslücke

Sei $x_{0}$ eine Definitionslücke von der stetigen Funktion $f\colon I\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R}$. Existiert der Grenzwert

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=:r\,,$

dann nennt man $x_{0}$ eine stetig behebbare Definitonslücke von $f$. In diesem Fall ist

${\tilde {f}}={\begin{cases}f(x),&x\in I\setminus \{x_{0}\}\\r,&x=x_{0}\end{cases}}$

eine stetige Fortsetzung von $f$ ohne Definitonslücke.

Anstatt von stetig hebbarer Definitionslücke spricht man auch von stetig behebbar, stetig ergänzbar oder stetig fortsetzbar.

Weitere Arten von Definitionslücken

Neben den stetig hebbaren Definitionslücken gibt es noch weitere Arten von Polstellen. Diese heißen Sprungstelle, Polstelle oder wesentliche Singularität. Funktionen mit solchen Definitionslücken können nicht stetig fortgesetzt werden.

Beispiel

Die Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$ ist in ihrem gesamten Definitionsbereich $D=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ stetig, hat aber an der Stelle 0 eine Definitionslücke. Dies ist eine Polstelle.

Definition der stetigen Fortsetzung und der stetigen Fortsetzbarkeit einer Funktion

Gegeben sei eine auf einem Definitionsbereich $D$ definierte reellwertige Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ und es sei $x_{0}$ ein nicht in $D$ liegender Häufungspunkt von $D$.

Die Funktion ${\tilde {f}}\colon D\cup \{x_{0}\}\to \mathbb {R}$ heißt stetige Fortsetzung von $f$ (auf $D\cup \{x_{0}\}$), falls ${\tilde {f}}$ auf $D$ mit $f$ übereinstimmt und ${\tilde {f}}$ in $x_{0}$ stetig ist.

Existiert eine solche stetige Fortsetzung, so heißt $f$ in $x_{0}$ stetig fortsetzbar.

Anmerkung: Diese Definitionen lassen sich analog zum Beispiel für komplexwertige Funktionen formulieren.

Eigenschaften

Für eine stetige Fortsetzung muss ${\tilde {f}}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0} \atop x\in D}f(x)$ gelten, es kann also höchstens eine stetige Fortsetzung geben.

Umgekehrt gilt: Falls der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ existiert (uneigentliche Grenzwerte, also $+\infty$ oder $-\infty$, liegen nicht in $\mathbb {R}$ und sind hier auszuschließen), so ist die (abschnittsweise definierte) Funktion

${\tilde {f}}\colon D\cup \{x_{0}\}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\begin{cases}f(x)\,&,x\in D\\\lim _{x\to x_{0}}f(x)&,x=x_{0}\end{cases}}$

eine bzw. die stetige Fortsetzung von $f$ (auf $D\cup \{x_{0}\}$).

Es ergibt sich also als Kriterium: $f$ ist genau dann in $x_{0}$ stetig fortsetzbar, wenn der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ existiert.

Beispiel

Gegeben sei

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\setminus \{1\}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\frac {{\sqrt {x}}-1}{x-1}}$.

Die Funktion $f$ ist in $x_{0}=1$ stetig fortsetzbar:

$\lim _{x\to 1}{\frac {{\sqrt {x}}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\sqrt {x}}-1}{({\sqrt {x}}+1)({\sqrt {x}}-1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{{\sqrt {x}}+1}}={\frac {1}{2}}$

${\tilde {f}}:\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\begin{cases}{\frac {{\sqrt {x}}-1}{x-1}}&,x\neq 1\\{\frac {1}{2}}&,x=1\end{cases}}$.

An diesem Beispiel kann man noch bemerken, dass ${\tilde {f}}$ auch ohne Fallunterscheidung geschrieben werden kann, es gilt nämlich ${\tilde {f}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {x}}+1}}$ für alle $x\geq 0$. In anderen Fällen kann es sein, dass die Fallunterscheidung unumgänglich ist. So hat etwa

$g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x\cdot \sin({\tfrac {1}{x}})$

die stetige Fortsetzung

${\tilde {g}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\begin{cases}x\cdot \sin({\tfrac {1}{x}})&,x\neq 0\\0&,x=0\end{cases}}$.

Spezialfall rationaler Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen, deren Nenner und Zähler an derselben Stelle Null werden, können nach dem folgenden Verfahren stetig ergänzt werden.

Solche Funktionen haben die Form

$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}},$

wobei $u(x)$ und $v(x)$ Polynomfunktionen sind.

Da $u(x)$ und $v(x)$ Polynome sind, ist ihr Verhalten an ihren Nullstellen bekannt: Die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also $u(x)$ und $v(x)$ an der Stelle $x_{0}$ eine Nullstelle haben, so ist immer

$u(x)=(x-x_{0})^{N_{u}}\;s(x)$

und

$v(x)=(x-x_{0})^{N_{v}}\;t(x)$

wobei

$s(x_{0})\neq 0\land t(x_{0})\neq 0$.

Die Terme $N_{u}$ und $N_{v}$ bezeichnet man auch als die Ordnung der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen (zumindest für $x\neq x_{0}$) kürzen. Das Ergebnis der Kürzung ist der einzige Kandidat für eine stetige Fortsetzung nach $x_{0}$.

• Wenn $N_{u}>N_{v}>0$, dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch 0 gegeben ist.
• Wenn $N_{u}=N_{v}>0$, dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch $s(x_{0})/t(x_{0})$ gegeben ist.
• Wenn $N_{u}<N_{v}$, dann liegt eine Polstelle vor.

Beispiel

Die Funktion

$f(x)={\frac {x^{3}+4x^{2}+5x+2}{x^{3}+x^{2}-x-1}}={\frac {(x+1)^{2}(x+2)}{(x+1)^{2}(x-1)}}$

hat für $x=-1$ eine Lücke, die sich durch Kürzen mit dem Wert $(x+1)^{2}$ beheben lässt, wodurch sich die Funktion

${\tilde {f}}(x)={\frac {x+2}{x-1}}$

als auch bei $x=-1$ stetige Fortsetzung ergibt. Es ist wohlgemerkt ${\tilde {f}}$ ebenso wie $f$ für $x=+1$ undefiniert, dort liegt eine Polstelle vor.

Differenzierbare Funktionen (Regel von L’Hôpital)

→ Hauptartikel: Regel von L’Hospital

Wenn sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion an der gemeinsamen Nullstelle differenzierbar sind, gilt die Regel von L’Hospital. Diese besagt:

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\left.{\frac {u'(x)}{v'(x)}}\right|_{x=x_{0}}\,.$

Siehe auch

• Riemannscher Hebbarkeitssatz
• Singularität (Mathematik)