Reelle Zahl

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ℝ

Zahlengerade

Die reellen Zahlen bilden den für die ganze Mathematik wichtigsten Zahlenbereich, und dies gilt in gleicher Weise für alle Naturwissenschaften. So werden gemessene oder berechnete physikalischen Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse mit reellen Zahlen als Maßzahlen angegeben. Anschaulich entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden.

Reelle Zahlen sind eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen. Eine Erweiterung ist nötig, weil die rationalen Zahlen für manche Längen keine Maßzahl bereitstellen, zum Beispiel für die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 oder für die Teilstrecken in einem Pentagramm mit der Seitenlänge 1. Schon die Pythagoräer erkannten die Notwendigkeit, den Zahlbegriff über die Längenverhältnisse (die durch rationale Zahlen beschrieben werden) hinaus zu erweitern. Erst die moderne Mathematik hat aber den Bereich der reellen Zahlen definiert und damit dem Grenzwertbegriff und der gesamten Analysis ein festes Fundament gegeben.

Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol $\R$ (auch $\mathbf{R}$, Unicode U+211D: ℝ) verwendet. Diese werden unterschieden in:

• Rationale Zahlen - $\Q = \left\{\dots,-\tfrac{2}{1},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{1},0,\tfrac{1}{1},\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{1},\tfrac{1}{3},\dots\right\} = \bigl\{\tfrac{p}{q} \mid p \in \Z, q \in \N \setminus \{0\}\bigr\}$
  • Ganze Zahlen - $\Z = \{\dots,-2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.
    • Natürliche Zahlen - $\N$ (ohne 0): $\{1, 2, 3,\dots\}$ oder (mit 0): $\{0, 1, 2, 3,\dots\}$ (auch $\N_0$).
• Irrationale Zahlen - $\R \setminus \Q$ = die Menge aller Elemente von $\R$, die nicht in $\Q$ liegen. Diese lassen sich wiederum unterteilen in:
  • irrationale algebraische Zahlen und
  • transzendente Zahlen.

Darstellen lassen sich reelle Zahlen beispielsweise als (unendliche oder abbrechende) Dezimalzahlen.

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen enthält die rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie -1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, -2/3 usw.) und die irrationalen Zahlen. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie reell, aber nicht rational ist. Die ersten Beweise, dass die Zahlengerade irrationale Zahlen enthält, wurden von den Pythagoräern geführt.

Irrationale Zahlen sind beispielsweise:

• die Kreiszahl π (Pi),
• die Eulersche Zahl $e$,
• die nicht ganzzahligen Wurzeln aus ganzen Zahlen wie z. B. $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]7$.

Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d. h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche reellen Wurzelausdrücke, aber nicht nur diese (z. B. Lösungen geeigneter Gleichungen 5. Grades). Ihr Komplement ist die Menge der (reellen) transzendenten Zahlen.

Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen war im 19. Jahrhundert ein wichtiger Schritt, um die Analysis auf ein solides mathematisches Fundament zu stellen. Die erste exakte Konstruktion geht wohl auf Karl Weierstraß zurück, der die reellen Zahlen über beschränkte Reihen mit positiven Gliedern definierte.

Heute gebräuchliche Konstruktionen der reellen Zahlen:

• Darstellung als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen: Dabei werden die reellen Zahlen als kleinste obere Schranken von nach oben beschränkten Teilmengen der rationalen Zahlen definiert.

• Darstellung als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen: Diese heute verbreitetste Konstruktion der reellen Zahlen geht wohl auf Georg Cantor zurück, der die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen definierte. Dabei gelten zwei Cauchy-Folgen als äquivalent, wenn ihre (punktweisen) Differenzen eine Nullfolge bilden. Wie man relativ leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet.

Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt bilden die reellen Zahlen damit einen geordneten Körper.

• Darstellung als Äquivalenzklassen von Intervallschachtelungen rationaler Intervalle.

Die drei genannten Konstruktionsmethoden „vervollständigen“ (komplettieren) alle die rationalen Zahlen und führen zur (bis auf Isomorphie) gleichen Struktur, dem Körper der reellen Zahlen. Jede der Methoden beleuchtet eine andere Eigenschaft der rationalen und reellen Zahlen und ihrer Beziehung zueinander:

• Die Methode der Dedekindschen Schnitte vervollständigt die Ordnung auf den rationalen Zahlen zu einer ordnungsvollständigen Ordnung. Als Ergebnis liegen die rationalen Zahlen (im Sinne der Ordnung) dicht in den reellen Zahlen und jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum.
• Die Methode der Cauchyfolgen vervollständigt die Menge der rationalen Zahlen als metrischen Raum zu einem vollständigen metrischen Raum im topologischen Sinn. Damit liegen die rationalen Zahlen im topologischen Sinn dicht in den reellen Zahlen und jede Cauchy-Folge besitzt einen Grenzwert. Diese Methode der Vervollständigung (Komplettierung) ist auch bei vielen anderen mathematischen Strukturen anwendbar.
• Die Methode der Intervallschachtelungen reflektiert die numerische Berechnung von reellen Zahlen: Sie werden durch Näherungswerte mit einer gewissen Genauigkeit (Näherungsfehler) approximiert, also in ein Intervall um den Näherungswert eingeschlossen. Der Beweis, dass sich die Näherung (durch iterative oder rekursive Verfahren) beliebig verbessern lässt, ist dann ein Beweis für die „Existenz“ eines reellen Grenzwertes.

Konstruktion der reellen Zahlen aus der euklidischen Geometrie

Ausgehend von rein geometrischen Begriffen wie Punkte, Geraden und Ebenen lassen sich reelle Zahlen als Verhältnisse von Streckengrößen definieren. Ausgangspunkt ist dabei z.B. Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie. Neben den geometrischen Axiomen ist dabei besonders als "Axiom des Messens" eine Variante des archimedischen Axioms von Bedeutung und ein "Vollständigkeitsaxiom", das besagt, dass man keine Punkte hinzu nehmen kann, ohne dass die Axiome verletzt werden.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen wird in der Literatur oft in vier Schritten vorgenommen: Von der Mengenlehre über die natürlichen, die ganzen, die rationalen schließlich zu den reellen Zahlen wie oben beschrieben. Eine direkte Möglichkeit, die reellen Zahlen mathematisch zu erfassen, ist, sie durch Axiome zu beschreiben. Dazu benötigt man drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert.

1. Die reellen Zahlen sind ein Körper
2. Die reellen Zahlen sind total geordnet (siehe auch geordneter Körper), d. h. für alle reellen Zahlen $a, b, c$ gilt:
   1. es gilt genau eine der Beziehungen $a < b$, $a = b$, $b < a$ (Trichotomie)
   2. aus $a < b$ und $b < c$ folgt $a < c$ (Transitivität)
   3. aus $a < b$ folgt $a + c < b + c$ (Verträglichkeit mit der Addition)
   4. aus $a < b$ und $c > 0$ folgt $ac < bc$ (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
3. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von $\R$ besitzt ein Supremum in $\R$

Alternativ kann der Körper der reellen Zahlen auch charakterisiert werden als vollständiger, archimedisch geordneter Körper, d. h. als ein Körper der folgende Axiome erfüllt:

• die Körperaxiome und Ordnungsaxiome
• das Archimedische Axiom:

  Sind $a$ und $b$ positive reelle Zahlen, dann gibt es ein $n \in \N$, so dass $na > b$ ist.

• das Vollständigkeitsaxiom:

  Jede Cauchy-Folge in $\R$ konvergiert oder anders ausgedrückt die reellen Zahlen sind bzgl. der vom Absolutbetrag induzierten Metrik ein vollständiger Raum.

Anstelle des Vollständigkeitsaxioms kann man auch das Intervallschachtelungsaxiom setzen:

• das Intervallschachtelungsaxiom:

  Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle ist nichtleer.

Wenn man die reellen Zahlen axiomatisch einführt, dann ist die Konstruktion als Zahlbereichserweiterung ihr „Existenzbeweis“, genauer: Die Konstruktion in vier Schritten aus der Mengenlehre beweist, dass ein Modell für die durch die Axiome beschriebene Struktur in der Mengenlehre, von der die Konstruktion ausging, vorhanden ist.

Zum Vollständigkeitsaxiom bzw. zum Supremumsaxiom bzw. zum Intervallschachtelungsaxiom gleichwertige Axiome

Anstelle der drei genannten Axiome kann man auch verschiedene andere Axiome setzen::

• Das Intervallschachtelungsaxiom (zweite Version):

  Jede Intervallschachtelung in $\R$ besitzt einen Kern.

• Das Infimumsaxiom:

  Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge von $\R$ besitzt ein Infimum.

• Das Heine-Borel-Axiom:

  Wird ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall von $\R$ durch beliebige viele offene Mengen von $\R$ überdeckt, so gibt es unter diesen offenen Mengen stets auch nur endlich viele, die das Intervall überdecken.

• Das Bolzano-Weierstraß-Axiom:

  Jede unendliche beschränkte Teilmenge von $\R$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

• Das Monotonieaxiom:

  Jede monotone beschränkte Folge in $\R$ konvergiert.

• Das Zusammenhangsaxiom:

  Die reellen Zahlen bilden in der üblichen Topologie einen zusammenhängenden topologischen Raum.

• Das Zwischenwertaxiom:

  Eine auf einem Intervall von $\R$ definierte stetige reelle Funktion nimmt in ihrem Wertebereich stets jeden Zwischenwert an.

• Das Beschränktheitsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\R$ definierte stetige reelle Funktion hat stets einen nach oben beschränkten Wertebereich.

• Das Maximumsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\R$ definierte stetige reelle Funktion besitzt stets eine Maximumsstelle.

Durch die so gewonnenen äquivalenten Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen jeweils (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt, denn je zwei vollständige angeordnete Körper sind isomorph.

Mächtigkeiten

Die Mächtigkeit von $\R$ wird mit $\mathfrak c$ (Mächtigkeit des Kontinuums) bezeichnet. Sie ist größer als die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen, die als kleinste unendliche Mächtigkeit $\aleph_0$ heißt. Die Menge der reellen Zahlen ist deshalb überabzählbar. Ein Beweis für ihre Überabzählbarkeit ist Cantors zweites Diagonalargument. Informell bedeutet „Überabzählbarkeit“, dass jede Liste $x_1,x_2,x_3,\ldots$ reeller Zahlen unvollständig ist. Da die Menge der reellen Zahlen gleichmächtig zu der Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist, gibt man ihre Mächtigkeit auch mit $2^{\aleph_0}$ an.

Die eingangs genannten weniger umfassenden Erweiterungen der Menge der natürlichen Zahlen sind dagegen gleichmächtig mit den natürlichen Zahlen, also abzählbar. Für die rationalen Zahlen lässt sich dies durch Cantors erstes Diagonalargument beweisen. Selbst die algebraischen Zahlen sind abzählbar. Die Überabzählbarkeit entsteht also erst durch die Hinzunahme der transzendenten Zahlen.

In der Mengenlehre wurde nach Cantors Entdeckungen die Frage untersucht: "Gibt es eine Mächtigkeit zwischen „abzählbar“ und der Mächtigkeit der reellen Zahlen, zwischen $\aleph_0$ und $\mathfrak c$?" – Oder, für die reellen Zahlen formuliert: "Ist jede überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen gleichmächtig wie die Menge aller reellen Zahlen?" Die Vermutung, dass die Antwort auf die erste Frage „Nein!“ und auf die zweite Frage „Ja“ lautet, wird als Kontinuumhypothese (CH) bezeichnet, kurz formuliert als $2^{\aleph_0} = \aleph_1$. Es konnte gezeigt werden, dass die Kontinuumhypothese unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) ist, d.h. sie kann im Rahmen dieser Systeme weder bewiesen noch widerlegt werden.

Topologie, Kompaktheit, erweiterte reelle Zahlen

Die übliche Topologie, mit der die reellen Zahlen versehen werden, ist diejenige, die aus der Basis der offenen Intervalle

$(a,b) = {]a,b[} = \{x \in \R \mid a < x < b\}$, $a, b \in \R$

erzeugt wird. In dieser Form geschrieben handelt es sich um die Ordnungstopologie. Offene Intervalle in den reellen Zahlen lassen sich aber auch durch Mittelpunkt und „Radius“ darstellen: $]p -r , p + r[$, also als offene Kugeln

$B_r(p):=\{x\in\R\mid |x-p|<r\}$

bezüglich der durch die Betragsfunktion definierten Metrik $d(x,y):=|x-y|$. Die von den offenen Intervallen erzeugte Topologie ist also gleichzeitig die Topologie dieses metrischen Raums. Da die rationalen Zahlen in dieser Topologie dicht liegen, reicht es, sich bei den Intervallgrenzen bzw. den Mittelpunkten und Radien der Bälle, die die Topologie definieren, auf rationale Zahlen $a, b, p, r$ zu beschränken, die Topologie genügt daher beiden Abzählbarkeitsaxiomen.

Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen sind die reellen Zahlen ein lokalkompakter Raum, zu jeder reellen Zahl $x$ lässt sich also eine offene Umgebung angeben, deren Abschluss kompakt ist. Solch eine offene Umgebung ist einfach zu finden; jede beschränkte, offene Menge $U$ mit $x\in U$, leistet das Gewünschte: nach dem Satz von Heine-Borel ist $\bar{U}$ kompakt.

Der reelle Zahlenkörper ist nur lokalkompakt, nicht aber kompakt. Eine verbreitete Kompaktifizierung sind die sogenannten erweiterten reellen Zahlen $\overline{\R}:=\R \cup \{-\infty, +\infty \}$, wobei die Umgebungen von $-\infty$ durch die Umgebungsbasis

$\mathfrak B:=\{B_r(-\infty)\mid r\in{\Bbb Q}^+\}$ mit $B_r(-\infty):=\{x\in\R \mid x<-\tfrac1r\}$

und die Umgebungen von $+\infty$ durch die Umgebungsbasis

$\mathfrak B:=\{B_r(+\infty)\mid r\in{\Bbb Q}^+\}$ mit $B_r(+\infty):=\{x\in\R\mid x>\tfrac1r\}$

definiert werden. Diese Topologie genügt weiterhin beiden Abzählbarkeitsaxiomen. $\overline{\R}\;$ ist homöomorph zum abgeschlossenen Intervall [0,1], beispielsweise ist die Abbildung $x\mapsto\arctan x$ ein Homöomorphismus $\overline{\R}\to[-\pi/2,\pi/2]$, und alle kompakten Intervalle sind mittels affin-linearer Funktionen homöomorph. Bestimmt divergente Folgen sind in der Topologie der erweiterten reellen Zahlen konvergent, beispielsweise ist die Aussage

$\lim_{n\to\infty} n^2 = +\infty$

in dieser Topologie ein echter Grenzwert.

Mit $-\infty<x<\infty$ für alle $x\in\R$ sind die erweiterten reellen Zahlen weiterhin total geordnet; es ist allerdings nicht möglich, die Körperstruktur der reellen Zahlen auf die erweiterten reellen Zahlen zu übertragen, beispielsweise hat die Gleichung $\infty+x=\infty$ keine eindeutige Lösung.

Verwandte Themen

• Eine näherungsweise Darstellung reeller Zahlen im Computer erfolgt durch Gleitkommazahlen.
• Berechnungen unter Berücksichtigung der Näherungsfehler ermöglicht die Intervallarithmetik.
• Die Darstellung von Zahlen erfolgt in einem Zahlensystem.

Literatur

• Oliver Deiser: Reelle Zahlen - Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3
• Otto Forster: Analysis 1. Differential und Integralrechnung einer Veränderlichen. 4. Auflage. vieweg, 1983, ISBN 3-528-37224-9
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
•  John M. H. Olmsted: The Real Number System. Appleton-Century-Crofts, New York 1962.
•  Der kleine Duden "Mathematik". 2. Auflage. Dudenverlag, Mannheim [u. a.] 1996, ISBN 3-411-05352-6.

Weblinks

 Wikibooks: Analysis - Reelle Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien

• Reelle Zahlen auf PlanetMath
• Erweiterte reelle Zahlen auf PlanetMath