Wohlfahrtstheoreme

Die Wohlfahrtstheoreme (auch Hauptsätze der Wohlfahrtsökonomik) sind zwei fundamentale Lehrsätze der Wohlfahrtsökonomik aus dem mikroökonomischen Bereich der Volkswirtschaftslehre.

Einführende Darstellung

Erstes Wohlfahrtstheorem

Das erste Wohlfahrtstheorem besagt, dass ein in einer idealen Ökonomie (d. h. wo perfekte Wettbewerbsmärkte ohne Externalitäten und Transaktionskosten bestehen, in denen alle Teilnehmer als Preisnehmer agieren) erzielte kompetitive Marktgleichgewicht pareto-effizient ist. Das Theorem geht in seiner formalen Gestalt insbesondere auf Arbeiten von Kenneth Arrow und Gérard Debreu zurück, formalisiert aber im Grunde zentrale Ergebnisse der Arbeiten von Adam Smith.

Zweites Wohlfahrtstheorem

Optimierung durch Tauschvorgänge

Das zweite Wohlfahrtstheorem besagt, dass unter den oben beschriebenen Voraussetzungen und konvexen Präferenzen jedes beliebige, pareto-effiziente kompetitive Marktgleichgewicht tatsächlich erreicht werden kann, wenn bereits vor dem Beginn der Marktaktivitäten eine entsprechende Umverteilung ("lump sum", d. h. unabhängig vom Verhalten des Marktteilnehmers und damit ohne verzerrende Wirkung) vorgenommen wird.

Formale Darstellung

Vereinbarungen und Definitionen

Grundlegendes; Notation

Betrachtet sei eine Ökonomie aus n Märkten. Die Preise auf diesen Märkten werden in einem Preisvektor $\mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})$ zusammengefasst, wobei jeder einzelne Preis strikt positiv sei. In der Ökonomie gebe es weiter $I$ Konsumenten und $L$ Firmen, wobei für diese beiden Gruppen entsprechend die Indexmengen ${\mathcal {I}}=\{1,\ldots ,I\}$ (die Menge aller Konsumenten) bzw. ${\mathcal {J}}=\{1,\ldots ,J\}$ (die Menge aller Produzenten) definiert werden. Betrachtet werden nun nacheinander Konsumenten und Produzenten, danach die anfängliche Ausstattung der Ökonomie:

• Das Konsumprofil einer Person $i\in {\mathcal {I}}$ ist $\mathbf {x} ^{i}=(x_{1}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})\in \mathbb {R} ^{n}$ – es gibt Auskunft, welche Menge Person i von jedem der n Güter konsumiert. Die Präferenzstruktur eines jeden Individuums $i\in {\mathcal {I}}$ findet wiederum in seiner Nutzenfunktion $u^{i}=u^{i}(\mathbf {x} ^{i})\in \mathbb {R}$ Ausdruck.
• Die Produktion eines Unternehmens $j\in {\mathcal {J}}$ ist gegeben durch die Technologie $\mathbf {y} ^{j}=(y_{1}^{j},\ldots ,y_{n}^{j})\in \mathbb {R} ^{n}$.
• Die anfänglichen Bestände an den jeweiligen Gütern sind durch einen Ausstattungsvektor $\mathbf {e} =(e_{1},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Wir vereinbaren weiter $\mathbf {e} ^{i}=(e_{1}^{i},\ldots ,e_{n}^{i})\in \mathbb {R} ^{n}$ als die Ausstattung einer Person $i\in {\mathcal {I}}$ (bezüglich aller Güter).

Definition – Ökonomie

Mit den vereinbarten Definitionen hinsichtlich der Präferenzstruktur der Individuen, der technologischen Kapazitäten der Produzenten und der Ressourcenbestände lässt sich eine Ökonomie durch den Vektor

$\mathbf {\mathcal {E}} =\left[\left(\mathbf {x} ^{i},u^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {e} \right]$

charakterisieren.

Definition – Allokationen und zulässige Allokationen

Durch einen $(I+J)$-Allokationsvektor $\left[\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ ist wiederum ein konkreter „Zustand” von $\mathbf {\mathcal {E}}$ (mit spezifischem Konsum- und Produktionsvektoren für jeden Konsumenten bzw. Produzenten) gegeben. Eine solche Allokation bezeichnet man als zulässig, wenn für jede Ressource gilt, dass die insgesamt konsumierte Menge gerade der Anfangsausstattung zuzüglich der insgesamt produzierten Menge entspricht, mithin also wenn

$\sum _{i=1}^{I}\mathbf {x} ^{i}=\mathbf {e} +\sum _{j=1}^{J}\mathbf {y} ^{j}$

Definition – Pareto-Effizienz von Allokationen

Eine Allokation ist überdies pareto-effizient, wenn es keine Möglichkeit gibt, die Ressourcen so zwischen Konsumenten umzuverteilen, dass jeder zumindest den gleichen Nutzen hat, mindestens eine Person aber sogar einen Nutzenzuwachs erfährt. Formal ist die Allokation $\left[\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ pareto-effizient genau dann, wenn sie zulässig ist (siehe oben) und keine andere zulässige Allokation $\left[\left(\mathbf {\tilde {x}} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {\tilde {y}} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ existiert, sodass $u^{i}\left(\mathbf {\tilde {x}} ^{i}\right)\geq u^{i}\left(\mathbf {x} ^{i}\right)$ für alle $i\in {\mathcal {I}}$ und $u^{i}\left(\mathbf {\tilde {x}} ^{i}\right)>u^{i}\left(\mathbf {x} ^{i}\right)$ für gewisses $i\in {\mathcal {I}}$.

Definition – Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum

Betrachtet werde nun eine spezielle Ökonomie, und zwar ein Wettbewerbssystem, in dem alle Firmen (und ihre Gewinne) privates Eigentum darstellen, das heißt die Gewinne sind Bestandteil des aggregierten Konsumbudgets. Da es sich um eine Wettbewerbsökonomie handelt, werden Güter überdies dezentral auf Wettbewerbsmärkten gehandelt, wobei die Marktakteure als Preisnehmer agieren: Konsumenten maximieren ihren Nutzen, Produzenten ihre Gewinne. Aus der Privateigentumsannahme ergibt sich formal, dass sich das Budget der Konsumenten aus zwei Komponenten zusammensetzt: Zum einen aus einem Anteil $\mathbf {e} ^{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ an der Anfangsausstattung, zum anderen aus einem Anteil an den Gewinnen der Produzenten. Dieser Anteil betrage gerade $\mathbf {\theta } ^{i}\in \mathbb {R} ^{J}$ mit $\theta ^{i}=(\theta ^{i1},\ldots ,\theta ^{iJ})$ ($\theta ^{i4}$ wäre also beispielsweise der Anteil, den Person i an den Gewinnen von Produzent 4 für sich in Anspruch nehmen kann). Entsprechend den Voraussetzungen ist $\mathbf {e} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} ^{i}$ und $\sum _{i=1}^{I}\mathbf {\theta } ^{i}=\mathbf {1}$. Eine solche Ökonomie lässt sich dann als Vektor

$\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}=\left[\left(\mathbf {x} ^{i},u^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\left(\mathbf {e} ^{i},\mathbf {\theta } ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}}\right]$

beschreiben.

Definition – (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht für $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$

Für die Wettbewerbsökonomie mit Privateigentum $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ ist ein Wettbewerbsgleichgewicht definiert als ein Vektor

$\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} ^{*}\right]$

für den folgende Eigenschaften gelten:

1. Die Allokation $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ ist in $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ zulässig.
2. Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt für alle $j\in {\mathcal {J}}$ gilt: $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j}\leq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}$ für alle $\mathbf {y} ^{j}$.
3. Jede Person maximiert ihren Nutzen, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget. Genauer: Sei ${\mathcal {X}}$ die Menge aller Konsumvektoren $\mathbf {x} ^{i}$, die der Budgetbedingung genügen:

   ${\mathcal {X}}=\left\{\mathbf {x} ^{i}\left|\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i}\leq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} ^{i}+\sum _{j=1}^{J}\theta ^{ij}\cdot \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}\right.\right\}$

Dann ist $\mathbf {x} ^{i*}\in {\mathcal {X}}$ und es gilt: $u\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)\geq u\left(\mathbf {x} ^{i}\right)$ für alle $\mathbf {x} ^{i}\in {\mathcal {X}}$.

Ein solches Gleichgewicht bezeichnet man als walrasianisches Gleichgewicht.

Erster Hauptsatz (I)

Erster Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik (I): Sei $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen $u^{i}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ($i\in {\mathcal {I}}$) zugrunde liegende schwache Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton). Sei weiter

$\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} ^{*}\right]$

ein walrasianisches Gleichgewicht.

Dann ist die daraus abgeleitete walrasianische Gleichgewichtsallokation

$\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$

für $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ pareto-effizient.

Siehe weiter unten für eine etwas allgemeinere Definition.

Zusätzliche Definitionen

Definition – Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers für $\mathbf {\mathcal {E}}$

Wir weiten die engen Vorgaben des walrasianischen Gleichgewichts wieder etwas auf, indem wir das Gleichgewichtskonzept auf die „abstraktere“ Ökonomie $\mathbf {\mathcal {E}}$ übertragen. Voraussetzung für das (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht für $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ ist, dass jedes Individuum nur so viel zur Verfügung hat, wie sich aus (dem Wert) seiner ursprünglichen Güterausstattung und den anteiligen Unternehmensgewinnen zusammensetzt, die ihm zustehen. Das in diesem Abschnitt behandelte Gleichgewichtskonzept kennt noch eine weitere Komponente der Wohlstandsbestimmung: die Transferzahlung. Man kann sich dies praktisch beispielsweise als einmalige (positive oder negative) Steuer vorstellen, durch die ein sozialer Planer vor der Wettbewerbstätigkeit in der Ökonomie Mittel zwischen den Konsumenten „verschiebt“.

Man definiert nun zunächst ein Maß für den individuellen Wohlstand $w^{i}\in \mathbb {R}$ für alle Konsumenten. Dies geschieht mittels des Vektors $w=(w^{i},\ldots ,w^{I})\in \mathbb {R} ^{I}$.

Für die Wettbewerbsökonomie $\mathbf {\mathcal {E}}$ ist dann

$\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} ^{*}\right]$

ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers genau dann, wenn es einen Vektor $\mathbf {w}$ mit $\sum _{i=1}^{I}w^{i}=\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} +\sum _{j=1}^{J}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} _{j}^{*}$ gibt, sodass gilt:

1. Die Allokation $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ ist in $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ zulässig.
2. Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt für alle $j\in {\mathcal {J}}$ gilt: $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j}\leq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}$ für alle $\mathbf {y} ^{j}$.
3. Jede Person maximiert ihren Nutzen, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget. Genauer: Sei ${\mathcal {X}}$ die Menge aller Konsumvektoren $\mathbf {x} ^{i}$, die der Budgetbedingung genügen:

   ${\mathcal {X}}=\left\{\mathbf {x} ^{i}\left|\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i}\leq w^{i}\right.\right\}$

Dann ist $\mathbf {x} ^{i*}\in {\mathcal {X}}$ und es gilt: $u\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)\geq u\left(\mathbf {x} ^{i}\right)$ für alle $\mathbf {x} ^{i}\in {\mathcal {X}}$.

Insbesondere ist das walrasianische Gleichgewicht ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers.

Erster Hauptsatz (II)

Erster Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik (II): Sei $\mathbf {\mathcal {E}}$ die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen $u^{i}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ($i\in {\mathcal {I}}$) zugrunde liegende schwache Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton). Sei weiter

$\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} ^{*}\right]$

ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers.

Dann ist die daraus abgeleitete Gleichgewichtsallokation

$\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$

für $\mathbf {\mathcal {E}}$ pareto-effizient.

Zweiter Hauptsatz

Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik: Sei $\mathbf {\mathcal {E}}$ die betrachtete Ökonomie. Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen $u^{i}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ($i\in {\mathcal {I}}$) zugrunde liegende schwache Präferenzordnung lokal nicht gesättigt (oder, im Spezialfall: streng monoton) und darüber hinaus konvex. Sei weiter $\mathbf {y} ^{j}$ konvex für alle $j\in {\mathcal {J}}$.

Dann existiert zu jeder pareto-optimalen Allokation $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ ein Preisvektor $\mathbf {p} ^{*}\neq \mathbf {0}$, sodass $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} ^{*}\right]$ ein Quasi-(Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers bildet.

Beweise

Beweis des Ersten Hauptsatzes

Beweis durch Widerspruch: Man nehme an, dass die sich aus dem Preisnehmer-Wettbewerbsgleichgewicht ergebende Allokation $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ für $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ nicht pareto-optimal ist. Dann gibt es definitionsgemäß eine zulässige Allokation $\left[\left({\tilde {\mathbf {x} }}^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {\tilde {y}} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ für $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ mit

1. $u^{i}(\mathbf {\tilde {x}} ^{i*})\geq u^{i}(\mathbf {x} ^{i*})$ für alle i und
2. $u^{i'}(\mathbf {\tilde {x}} ^{i'*})>u^{i'}(\mathbf {x} ^{i'*})$ für mindestens ein Individuum $i'\in {\mathcal {I}}$.

Es ist zu zeigen, dass eine solche zulässige Allokation nicht existiert. Hierzu gehe man schrittweise vor.

• a) Da $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} ^{*}\right]$ das (Preisnehmer-)Wettbewerbgleichgewicht für $\mathbf {\mathcal {E}} ^{p}$ ist (mit $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} ^{i}+\sum _{j=1}^{J}\theta ^{ij}\cdot \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}$ dem Budget), muss auch gelten, dass $\mathbf {p} ^{*}\cdot {\tilde {\mathbf {x} }}^{i*}\geq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i*}$.
  (Denn wäre stattdessen $\mathbf {p} ^{*}\cdot {\tilde {\mathbf {x} }}^{i*}<\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i*}$, gäbe es in einer Umgebung um $\mathbf {\tilde {x}} ^{i*}$ ein $\mathbf {\tilde {\tilde {x}}} ^{i*}$, das strikt gegenüber $\mathbf {\tilde {x}} ^{i*}$ vorgezogen wird [lokale Nichtsättigung] und das ja ebenfalls der Budgetbedingung genügt – dann aber wäre $\mathbf {\tilde {x}} ^{i*}$ nicht das optimale Konsumbündel, vgl. Punkt 3 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes. Salopp gesagt muss also eine pareto-superiore Allokation zu teuer sein, sonst könnte die pareto-unterlegene Allokation ja nicht gleichgewichtig sein.)

• b) Aus 2. folgt, dass $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {\tilde {x}} ^{i'*}>\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i'*}$, denn $i'$ zieht $\mathbf {\tilde {x}} ^{i'*}$ gegenüber $\mathbf {x} ^{i'*}$ strikt vor. Wäre $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {\tilde {x}} ^{i'*}$ also gleich groß oder sogar kleiner als $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i'*}$, würde im Gleichgewicht sicherlich $\mathbf {\tilde {x}} ^{i'*}$ gewählt – im Widerspruch zur Eigenschaft 1 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes.

• c) Nach Voraussetzung ist für jeden Produzenten j $\mathbf {y} ^{j*}$ die gewinnmaximierende Produktionsmenge zum Preis $\mathbf {p} ^{*}$, weshalb notwendigerweise auch $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}\geq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {\tilde {y}} ^{j*}$, denn wäre stattdessen $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}<\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {\tilde {y}} ^{j*}$, würde $\left\{\mathbf {y} ^{j*}\right\}_{j\in {\mathcal {J}}}$ die Eigenschaft 2 in der Definition des (Preisnehmer-)Wettbewerbsgleichgewichtes nicht erfüllen.

• d) Jede Person befindet sich in ihrer durch $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i*}=\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} ^{i}+\sum _{j=1}^{J}\theta ^{ij}\cdot \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}$ gegebenen Budgetmenge.

• e) Da nach Voraussetzung $\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e}$ und $\sum _{i=1}^{I}\mathbf {\theta } ^{ij}=1$ für alle $j\in {\mathcal {J}}$ (siehe die Definition der Wettbewerbs-Tauschökonomie), liefert Summieren über die Gleichung in d), dass auch $\sum _{i=1}^{I}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i*}=\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} +\sum _{j=1}^{J}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}$

• f) Aus c) und e) folgt, dass $\sum _{i=1}^{I}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i*}\geq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} +\sum _{j=1}^{J}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {\tilde {y}} ^{j*}$.

• g) a) und b) in f) eingesetzt ergeben $\sum _{i=1}^{I}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {\tilde {x}} ^{i*}>\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} +\sum _{j=1}^{J}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {\tilde {y}} ^{j*}$

Daraus folgt aber nach der Definition der Zulässigkeit von Allokationen (siehe oben), dass $\left[\left({\tilde {\mathbf {x} }}^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {\tilde {y}} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ nicht zulässig ist, im Widerspruch zur Annahme, q.e.d.

Beweis des Zweiten Hauptsatzes

Sei für alle $i\in {\mathcal {I}}$ eine Menge

$V^{i}\equiv \left\{\mathbf {x} ^{i}\in \mathbb {R} ^{n}\left|u^{i}\left(\mathbf {x} ^{i}\right)>u^{i}\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)\right.\right\}$

definiert (die obere Konturmenge von $\mathbf {x} ^{i*}$ bzw. die Menge aller Konsumvektoren, die einen höheren Nutzen als $\mathbf {x} ^{i*}$ stiften). Summiert man diese Menge über alle i, erhält man

$V=\sum _{i=1}^{I}V^{i}=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\left|\mathbf {x} ^{1}\in V^{1},\ldots ,\mathbf {x} ^{n}\in V^{n}{\textrm {mit}}\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{I}\mathbf {x} ^{i}\right.\right\}$,

das heißt die Menge aller individuellen Konsumpläne (zusammengefasst zu einem Vektor $\mathbf {x}$), durch die sämtliche Individuen strikt besser gestellt sind als mit $\mathbf {x} ^{i*}$. Analog ist für alle $j\in {\mathcal {J}}$ eine Menge

$Y=\sum _{j=1}^{J}\mathbf {y} ^{j}=\left\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\left|\mathbf {y} ^{1}\in Y^{1},\ldots ,\mathbf {y} ^{n}\in Y^{n}{\textrm {mit}}\mathbf {y} =\sum _{j=1}^{J}\mathbf {y} ^{j}\right.\right\}$

definiert, die Menge sämtlicher Produktionpläne auf gesamtwirtschaftlicher Ebene. Diese aggregierte Produktionsmenge lässt sich um den Ausstattungsvektor $\{\mathbf {e} \}$ verschieben, wodurch man die aggregierte Menge der Konsummöglichkeiten,

$A=Y+\{\mathbf {e} \}$,

erhält.

• Jedes $V^{i}$ ist eine konvexe Menge. Seien $\mathbf {\tilde {x}} ^{i}$ und $\mathbf {\hat {x}} ^{i}$ beide Elemente von $V^{i}$. Dann ist nach Definition $u^{i}\left(\mathbf {\tilde {x}} ^{i}\right)>u^{i}\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)$ und $u^{i}\left(\mathbf {\hat {x}} ^{i}\right)>u^{i}\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)$. Sei nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit $u^{i}\left(\mathbf {\tilde {x}} ^{i}\right)\geq u^{i}\left(\mathbf {\hat {x}} ^{i}\right)$. Die Konvexitätseigenschaft der Präferenzordnung impliziert, dass damit für beliebiges $t\in [0,1]$ auch $u^{i}\left[t\mathbf {\tilde {x}} ^{i}+(1-t)\mathbf {\hat {x}} ^{i}\right]\geq u^{i}\left(\mathbf {\hat {x}} ^{i}\right)$. Da Präferenzordnungen zudem transitiv sind, gilt auch, dass $u^{i}\left[t\mathbf {\tilde {x}} ^{i}+(1-t)\mathbf {\hat {x}} ^{i}\right]>u^{i}\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)$. Also ist $V^{i}$ eine konvexe Menge.
• Zudem ist auch V als Summe konvexer Mengen konvex, ebenso wie Y, auch nach Verschiebung um $\mathbf {e}$ auf A.
• Wegen der Pareto-Optimalität der Allokation $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right]$ (nach Voraussetzung) ist $V\cap A=\emptyset$ (es darf kein mögliches „Angebot“ geben, das auch in V enthalten ist, sonst gäbe es eine Allokation, die mit gegebener Technologie und Ausstattung produzierbar ist und der anderen vorgezogen würde; dann aber könnte die Ausgangsallokation erst gar nicht pareto-optimal sein).
• Es existiert ein Preisvektor $\mathbf {p} ^{*}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}$ und ein $r\in \mathbb {R}$, sodass 1. $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {z} \geq r$ für alle $\mathbf {z} \in V$ und 2. $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {z} \leq r$ für alle $z\in Y+\{\mathbf {e} \}$. Dies folgt aus einer auf Minkowski zurückgehenden Version des Trennungssatzes für disjunkte konvexe Mengen in normierten Räumen durch reelle affine Hyperebenen, wonach für zwei disjunkte, nichtleere und konvexe Untermengen des $\mathbb {R} ^{n}$, A und B, gilt, dass eine Hyperebene existiert, die A von B trennt, das heißt es existiert ein $\mathbf {p} ^{*}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}$, sodass $\sup _{\mathbf {a} \in A}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {a} \leq \inf _{\mathbf {b} \in B}\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {b}$, oder, anders formuliert, es existiert ein nichtleeres $\mathbf {p} ^{*}\in \mathbb {R} ^{n}$ und ein $\alpha \in \mathbb {R}$, sodass für alle $\mathbf {a} \in A$ und für alle $\mathbf {b} \in B$ gilt, dass $\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {a} \leq \alpha \leq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {b}$. (Zum Beweis des Theorems vgl. verkürzt Mas-Colell 1995, S. 948 und vollständig Moore 1999, S. 297 ff.)

Literatur

• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1, Kapitel 16.
• Allan M. Feldman: Welfare Economics. In: Steven N. Durlauf und Lawrence E. Blume (Hrsg.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. Auflage. Palgrave Macmillan 2008, Internet http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_W000050&edition=current (Online-Ausgabe).
• Hal Varian: Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010, ISBN 978-0-393-93424-3, Kapitel 31. (Für eine einfache „Edgeworth“-Ökonomie, vgl. Edgeworth-Box.)

Weblinks

• Michael Powell: Econ 201C: General Equilibrium and Welfare Economics (PDF-Datei). Vorlesungsnotizen.