Parametertransformation

Als Parametertransformation wird in der Analysis eine bijektive, stetige Abbildung bezeichnet, die den Parameter eines Weges ändert.

Formale Definition

Sind $\gamma _{1}\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ und $\gamma _{2}\colon [\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ zwei Wege und ist $f\colon [a,b]\rightarrow [\alpha ,\beta ]$ eine stetige und streng monotone Abbildung mit

$\gamma _{1}(t)=\gamma _{2}(f(t))$ für alle $t\in [a,b]$, also $\gamma _{1}=\gamma _{2}\circ f$,

so nennt man $f$ eine Parametertransformation. Man nennt $\gamma _{1}$ dann auch eine Umparametrisierung von $\gamma _{2}$ mittels $f$.

Ist $f$ streng monoton wachsend, so wird die Parametertransformation orientierungstreu genannt. Falls die Parametertransformation $f$ streng monoton fallend ist, wird sie orientierungsumkehrend genannt.

Wenn $f$ und die Umkehrfunktion $f^{-1}$ stetig differenzierbar sind, dann nennt man $f$ eine $C^{1}$-Parametertransformation.

Eigenschaften

• Durch die Parametertransformation ändert sich der Weg, nicht jedoch die zugehörige Kurve.
• Der Weg $\gamma _{1}$ ist genau dann rektifizierbar wenn $\gamma _{2}$ rektifizierbar ist. In diesem Fall sind die Weglängen von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ gleich.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0575-1, S. 44–46.